Задание 9

Решить следующие задачи

1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3х - 2у - 7 = 0 и х + 3у - 6 = 0 и отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный 3.

2. Найти проекцию точки А(-8, 12) на прямую, проходящую через точки В(2, -3) и С(-5, 1).

3. Даны две вершины треугольника АВС: А(-4, 4), В(4, -12) и точка М(4, 2) пересечения его высот. Найти вершину С.

4. Найти уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок, равный 2, и проходящей параллельно прямой 2у - х = 3.

5. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(2, -3) и точку пересечения прямых 2х - у = 5 и х + у = 1.

6. Доказать, что четырёхугольник АВСD - трапеция, если А(3, 6), В(5, 2), С(-1, -3), D(-5, 5).

7. Записать уравнение прямой, проходящей через точку А(3, 1) перпендикулярно к прямой ВС, если В(2, 5), С(1, 0).

8. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, 1) параллельно прямой MN, если М(-3, -2), N(1, 6).

9. Найти точку, симметричную точке М(2, -1) относительно прямой х - 2у + 3 = 0.

10. Найти точку О пересечения диагоналей четырёхугольника АВСD, если А(-1, -3), В(3, 5), С(5, 2), D(3, -5).

11. Через точку пересечения прямых 6х-4у+5=0, 2х+5у+8=0 провести прямую, параллельную оси абсцисс.

12. Известны уравнения стороны АВ треугольника АВС 4х + у = 12, его высот ВН 5х - 4у = 12 и АМ х + у = 6. Найти уравнения двух других сторон треугольника АВС.

13. Даны две вершины треугольника АВС: А(-6, 2), В(2, -2) и точка пересечения его высот Н(1, 2). Найти координаты точки М пересечения стороны АС и высоты ВН.

14. Найти уравнения высот треугольника АВС, проходящих через вершины А и В, если А(-4, 2), В(3, -5), С(5, 0).

15. Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров, проведенных через середины сторон треугольника, вершинами которого служат точки А(2, 3), В(0, -3), С(6, -3).

16. Составить уравнение высоты, проведённой через вершину А треугольника АВС, зная уравнения его сторон: АВ - 2х - у - 3 = 0, АС - х + 5у - 7 = 0, ВС - 3х - 2у + 13 = 0.

17. Дан треугольник с вершинами А(3, 1), В(-3, -1) и С(5, -12). Найти уравнение и вычислить длину его медианы, проведённой из вершины С.

18. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения прямых 2х + 5у - 8 = 0 и 2х + 3у + 4 = 0.

19. Найти уравнения перпендикуляров к прямой 3х + 5у - 15 = 0, проведенных через точки пересечения данной прямой с осями координат.

20. Даны уравнения сторон четырехугольника: х - у = 0, х + 3у = 0, х - у - 4 = 0, 3х + у - 12 = 0. Найти уравнения его диагоналей.

21. Составить уравнения медианы СМ и высоты СК треугольника АВС, если А(4, 6), В(-4, 0), С(-1, -4).

22. Через точку Р(5, 2) провести прямую: а) отсекающую равные отрезки на осях координат; б) параллельную оси Ох; в) параллельную оси Оу.

23. Записать уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, 3) и составляющей с осью Ох угол: а) 45⁰; б) 90⁰; в)0⁰.

24. Какую ординату имеет точка С, лежащая на одной прямой с точками А(-6, -6) и В(-3, -1) и имеющая абсциссу, равную 3?

25. Через точку пересечения прямых 2х - 5у - 1 = 0 и х + 4у - 7 = 0 провести прямую, делящую отрезок между точками А(4, -3) и В(-1, 2) в отношении l = 2/3.

26. Известны уравнения двух сторон ромба 2х - 5у - 1 = 0 и 2х - 5у - 34 = 0 и уравнение одной из его диагоналей х+3у-6=0. Найти уравнение второй диагонали.

27. Найти точку Е пересечения медиан треугольника, вершинами которого являются точки А(-3, 1), В(7, 5) и С(5, -3).

28. Записать уравнения прямых, проходящих через точку А(-1, 1) под углом 45⁰ к прямой 2х + 3у = 6.

29. Даны уравнения высот треугольника АВС 2х-3у +1=0, х + 2у + 1 = 0 и координаты его вершины А(2, 3). Найти уравнения сторон АВ и АС треугольника.

30. Даны уравнения двух сторон параллелограмма х - 2у = 0, х - у - 1 = 0 и точка пересечения его диагоналей М(3, -1). Найти уравнения двух других сторон.