МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ С ОДНИМ РЕЗУЛЬТАТОМ ИЗМЕРЕНИЯ

Глава 10

ПЕРЕРАБОТКА ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ С ОДНИМ РЕЗУЛЬТАТОМ ИЗМЕРЕНИЯ

При математических действиях над результатами измере­ний нужно учитывать, что последние являются случайными значениями измеренных величин.Обращение с результатами измерений как с неслучайными значениями приводит к ошибкам. Некоторые из них будут рассмотрены на конкрет­ных примерах.

Начнем с умножения результата измерения на постоян­ный множитель.

Таблица 54

Решение. Результа­том умножения случай­ного числа r на 2 будет новое случайное число 2r, распределение ве­роятности которого

2r P

6 0,2

8 0,5

10 0,3

Графически оно показа­но на рис 194. Вероят­ность удвоенных по сравнению с r значений остается прежней. Оценки числовых характеристик теоретической модели эмпирического рас­пределения вероятности, представленного табл. 54,

так как нет никаких оснований полагать, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности. Оценки числовых характеристик теоретической модели нового случайного чис­ла

следовательно,

Таким образом, для оценок справедливы свойства самих числовых характеристик (см. п. 2.2): среднее арифметичес­кое произведение постоянного множителя а и результата из­мерения А равно произведению постоянного множителя и среднего арифметического результата измерения, то есть, если

В равной мере стандартное отклонение произведения постоян­ного множителя а и результата измерения А равно произ­ведению модуля постоянного множителя и стандартного отклонения результата измерения:

S_Q = |a| S_A .

Теперь рассмотрим операцию возведения результата из­мерения в квадрат. Под квадратом результата измерения А понимается случайная величина

Q=A² ,

которая с вероятностями P_i , соответствующими значениям A_{i ,} принимает значения, равные Q_i .

Пример 85. Возвести в квадрат результат измерения, рассмот­ренный в предыдущем примере.

Решение. Распределение вероятности числовых значений r² выг­лядит следующим образом:

r² Р

9 0,2

10 0,5

25 0,3

Оценки числовых характеристик теоретической модели этого распреде­ления вероятности

= 17,3; S_r² = 5,7.

Пример 86. Определить площадь круга, распределение вероятности числовых значений радиуса которого представлено табл. 54.

Решение. Распределение вероятности числовых значений площади круга s = pr² получаем, используя табл. 54:

s Р

28,3 0,2

50,3 0,5

78,5 0,3

Оценки числовых характеристик теоретической модели этого рас­пределения вероятности

= 54,4; S_S= 17,7.

Стандартное отклонение среднего арифметического значения площади круга

S = 1,8.

Так как закон распределения вероятности ^–s^ неизвестен, то на основа­нии неравенства П.Л. Чебышева с вероятностью, больше чем 0,9 ,

- 3,2 S < s < + 3,2 S _.

Отсюда с вероятностью не менее 0,9

s = 48,7 . . . 60,1.

Рассмотренные примеры показывают, что при функцио­нальном преобразовании результата измерения

Q = f(A) (54)

происходит трансформация его эмпирического закона рас­пределения вероятности в соответствии с правилом

P(Q_i )=P(A_i ).

Если результат измерения А задан теоретической моделью эмпирического закона распределения вероятности, то ис­пользуется то, что интегральная функция распределения ве­роятности F(Q) представляет собой вероятность того, что

f(A) < Q.

Решение этого неравенства относительно А устанавливает пределы, в которых находится А с той же вероятностью.

Последняя равна интегралу от плотности распределения вероятности p_A (A) в установленных пределах.

Пример 87. Определить трансформацию плотности распределения вероятности p_A (A) результата измерения A после линейного преобра­зования Q = а А + b.

Решение.1.F(Q) = P{aA + b < Q}.

2. С вероятностью F(Q) результат измерения

3. После перестановки пределов в последнем интеграле и диффе­ренцирования получаем:

Таким образом, как это можно было заметить еще на примере 84, при линейном преобразовании результата изме­рения распределение вероятности не меняется, а происходит только его смещение по оси абсцисс и компрессия либо де­компрессия.

Результат, полученный в примере 87, применительно к любоймонотонной функции (54) обобщается следующим образом:

где f ^-1 — функция, обратная функции f. В примере 87

Q - b

f ^-1 = ———— . Если f ^-1 —многозначная функция, то это отра­жается на

a

пределах, в которых находится А с вероятностью F(Q).

Пример 88. Определить трансформацию нормированного нормаль­ного закона распределений вероятности, которому подчиняется ре­зультат измерения A, после нелинейного преобразования Q = А ² .

Решение. 1. F (Q) = Р {А² < Q}.

2. Пределы, в которых выполняется неравенство, устанавливаются функцией A = ± , обратной возведению A в квадрат (рис. 195). Поэтому

3. После дифференцирования получаем:

Для сравнения графики плотности исходного и преобразованного распределения вероятности показаны на рис. 196.

На практике преобразованиями законов распределения вероятности результатов измерений интересуются сравни­тельно редко. Обычно ограничиваются расчетами на уровне оценок числовых характеристик законов распределений.

Пример 89. По данным примера 84 определить числовое значение длины окружности l с радиусом r .

Решение.1. = 2 = 25,7; S_l= 2 Sr = 4,4.

2. Стандартное отклонение среднего арифметического значения длины окружности

S = S_l / = 0,44.

3. Согласно неравенству П.Л. Чебышева с вероятностью не менее 0,9

1=24,3 . . . 27,1.