РЕШАЙТЕ НА ЗДОРОВЬЕ!!!

1. Сколько разрезов нужно сделать, чтобы разрезать 10 палок колбасы на 10 частей каждую?

2. Как от куска шнура длиной 4 метра отрезать кусок длиной 3 метра без линейки?

3. Есть 100-этажный дом, в котором хулиган Вася сломал все кнопки, кроме двух – подъем на 6 этажей и спуск на три этажа. Сможет ли Вася добраться с первого этажа а) на семьдесят девятый? б) на восьмидесятый?

4. От шахматной доски 8х8 отрезали а) клетку а1; б) клетки а1 и h1; в) клетки а1 и h8. Можно ли остаток доски разрезать на доминошки 2х1?

5. В некотором месяце три вторника приходятся на четные числа. Какой день недели 10 число этого месяца?

6. Четное или нечетное число 1+2+3+...+1000?

7. Вася получил 2 по географии и стал рвать географическую карту. Некоторые куски он рвал а) на 7 частей; б) на 7 или на 10 частей. Мог ли он получить 1995 кусков?

8. а) Как определить из 3 монет одну фальшивую за одно взвешивание, если она легче настоящей? б) Как определить из 8 монет одну фальшивую, если она тяжелее настоящей, за два взвешивания?

9. Есть 7 марсиан, у каждого из которых по а) одной руконожке; б) три руконожки. Могут ли они взяться за руконожки так, чтобы свободных руконожек не было?

10.Несколько одинаковых бригад сторожей проспали больше ночей, чем сторожей в бригаде, но меньше, чем число бригад. Сколько сторожей в бригаде, если всего они проспали 1001 человеко-ночь?

11. Хулиган Вася в наказание за порванную карту получил на дом пример: вычислить 1•2+2•3+3•4+...+99•100. Потратив всю ночь, Вася вычислил и получил 19951995. Докажите, что он ошибся.

12. Какое наибольшее количество не бьющих друг друга ладей можно поставить на шахматной доске?

13. Сломав лифт в 100-этажном доме, Вася сломал такие же лифты и в других домах. а) Можно ли теперь проехать в 20-этажном доме с 4 этажа на 5 этаж, если в лифте работают кнопки подъема на 13 этажей и спуска на 8 этажей?

б) Можно ли теперь проехать в 15-этажном доме с 3 этажа на 12 этаж, если в лифте работают кнопки подъема на 7 этажей и спуска на 9 этажей?

14. Доказать, что в 16-этажном доме в лифте, где работают всего две кнопки: подъем на 7 этажей и спуск на 9 этажей, можно добраться с любого этажа на любой другой.

15. У хулигана Пети в классе 22 человека вместе с ним. Доказать, что какие-то трое родились в один день недели.

16. На столе лежали две стопки одинаковых карточек. В каждой стопке – 17 карточек, на которых написаны числа от 1 до 17 (в каждой стопке есть все числа). Одну из стопок разложили на столе по порядку: 1, 2, 3, ..., 17. Вторую стопку перемешали и под каждой карточкой первой стопки положили карточку из второй. Затем вычислили суммы каждых двух карточек, лежащих одна над другой. Получилось 17 чисел (сумм). Затем все эти суммы перемножили. Доказать, что получилось четное число.

17. (Задача из истории) Можно ли разменять купюру достоинством 25 рублей на 10 купюр достоинством 1, 3 или 5 рублей?

18. На шахматной доске стоит 51 ладья. Доказать, что каждая из них бьет какую-нибудь другую.

19. Вася и Петя по очереди ломают шоколадку 6х4 по “швам”. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет?

20. Круг разделен на шесть секторов . В одном из секторов лежит шесть селедок. За один ход одна селедка переползает в соседний сектор. Могут ли селедки за 1995 ходов расползтись так, чтобы в каждом секторе было по одной селедке?

21. В стране 239 городов. Некоторые из них соединены дорогами. Доказать, что есть два города, из которых выходит поровну дорог.

22. Вася считал произведение цифр некоторого числа и получил в ответе 1995. Доказать, что он ошибся.

23. Круг разделен на шесть секторов. В одном из секторов лежат шесть селедок. За один ход селедка переползает в соседний сектор.а) Могут ли селедки расползтись по одной в каждый сектор за 1996 ходов?б) Тот же вопрос, если за ход в соседние секторы переползает сразу две селедки?

24. 9 команд сыграли однокруговой волейбольный турнир (т.е. каждая сыграла с каждой и ничьих при этогм не было). Всегда ли есть две команды А и В, которые вместе выиграли у всех (т.е. у каждой из остальных команд выиграла хотя бы одна из команд А и В)?

25.Вася и Петя взяли в долг пирожные и стали их есть, играя при этом в следующую игру: за один ход игрок может съесть от 1 до 6 пирожных на свой выбор. Выигрывает тот, кто съедает последнее, а проигравший платит. Кто из них обязательно победит, если вначале было: а) 40 пирожных; б) 35 пирожных?

26. В математическом кружке у каждого есть ровно один друг и ровно один враг. Доказать, что:

а) В кружке четное количество человек; б) Кружок можно разделить на 2, в каждом из которых нет ни друзей, ни врагов.

27. (Задача про финансы). Можно ли разменять 5 долларов двадцатью монетами по 5, 20 и 50 центов?

28. (Еще задача про финансы). В Цветочном городе 1996 жителей. При встрече двоих жителей один отдает другому 2 монеты по 5 рублей, а другой первому – 1 монету по 10 рублей. В конце недели каждый подсчитал, что он отдал 100 монет. Могло ли так быть?

29. Есть шесть книжных полок по 1 метру длиной каждая. Можно ли расставить на них

а) 51 книгу по 6 см толщиной и 99 книг по 3 см толщиной;

б) 50 книг по 6 см толщиной и 100 книг по 3 см толщиной;

в) 49 книгу по 6 см толщиной и 101 книгу по 3 см толщиной?

30. После того, как Вася побывал в лифте 100-этажного дома, в нем работают лишь кнопки подъема на 7 этажей и спуска на 9 этажей. Доказать, что с помощью этих кнопок можно добраться: а) с первого этажа на второй; б) со второго этажа на первый; в) с любого этажа на любой другой.

31. В дачном кооперативе 25 участков, расположенных в виде квадрата 5х5. Каждому из дачников, владеющих этими участками, нравится участок соседа (соседи – те, кто имеет общий забор). Могут ли они поменяться так, чтобы все 25 дачников получили наравящиеся им участки?

32. Известно, что Доказать, что .

33. Петя перемножил два двузначных числа с различными цифрами и . Мог ли он получить число (разные буквы обозначают разные цифры)?

34. (Задача из истории финансов). Доказать, что любую сумму свыше 8 рублей можно набрать, используя лишь трехрублевые и пятирублевые купюры.

35. В Васином классе, где учится 30 человек, прошел диктант. Вася сделал 13 ошибок, остальные сделали меньше. Доказать, что в классе есть трое, сделавших поровну ошибок.

36. На бизнес-семинаре было 1313 бизнесменов. Мог ли каждый из них пожать руку ровно 13 другим бизнесменам?

37. За круглым столом сидят 17 человек. Некоторые из них лжецы, т.е. всегда лгут, а остальные всегда говорят правду. Каждый из них сказал: “Ровно один человек из моих соседей – лжец”. Сколько среди них было лжецов?

38. Вася и Петя собираются в гости. Им нужно надеть носки: Васе – белые, а Пете – черные. Они достают наугад носки из темного шкафа, в котором лежит 20 белых носков и 20 черных носков.

а) Какое наименьшее число носков нужно вытащить, чтобы наверняка получилась пара?

б) Какое наименьшее число носков нужно вытащить, чтобы наверняка получились пары для Васи и для Пети?

39. Можно ли разрезать квадрат 10х10 на 25 фигурок вида ?

40. Доказать, что .

41. На доске 8х8 симметрично относительно главной диагонали расставлено 15 пешек. Доказать, что хотя бы одна из пешек стоит на этой главной диагонали.

42. Целые числа от 1 до 20 выписаны в строчку по порядку. За один ход можно поменять два числа, стоящих через одно, местами. Можно ли такими ходами переставить все числа в обратном порядке (от 20 до 1)?

43. Найти все простые числа р такие, что числа р+10 и р+14 тоже простые.

44. За сколько разломов с наложениями можно разломать шоколадку а) 3х3; б) 4х4 (шоколадку ломают только по канавкам).

45. Можно ли разрезать квадрат 10х10 на фигурки вида ?

46. Разрежьте квадрат на а) 6 квадратов; б) 7 квадратов; в) 8 квадратов; г) любое число квадратов, большее 8.

47. Докажите, что из любых 6 чисел есть два, разность которых делится на 5.

48. Из 12 монет одна фальшивая (легче настоящей). За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь фальшивую монету можно отделить от настоящей?

49. Доказать, что: а) ; б) .

50. Ковбой Джо приобрел в салуне (маленькое дикое кафе на большом Диком Западе) несколько бутылок... (вовсе не виски) кока-колы по 1 доллару 40 центов за штуку, некоторое количество сэндвичей по 35 центов и бифштекс за 2 доллара 80 центов. Бармен сказал, что с ковбоя 20 долларов 50 центов. Ковбой Джо застрелил бармена. Доказать, что по законам Дикого Запада было за что (бармен его обсчитал).

51. На столе лежат в один ряд а)25 пирожных; б) 24 пирожных. Вася и Петя играют в игру: за один ход разрешается съесть одно пирожное или два, лежащих рядом. Выиграет тот, кто съест последнее пирожное. Кто выиграет при правильной игре в каждом из пунктов?

52. На столе стоит 50 стаканов: 25 вверх дном и 25 вверх горлом. За один ход можно перевернуть одновременно а) 2 стакана; б) 4 стакана. Можно ли с помощью таких ходов поставить все стаканы вверх горлышком?

53. Можно ли квадрат 10х10 разрезать на фигурки вида?

54. Вася достает ботинки наугад из темного шкафа, в котором лежат 20 пар ботинок: 10 пар черных и 10 пар коричневых. Какое наименьшее количество ботинок надо вытащить, чтобы наверняка среди вытащенных оказалась пара? (На ощупь не определить ни цвет ботинка, ни то, на какую он ногу).

55. Есть много одинаковых картонных треугольников, в углах которых написаны числа 1, 2, 3. Можно ли сложить их в стопку так, чтобы сумма чисел вдоль каждого ребра стопки равнялась бы 55? (Треугольники можно и переворачивать).

56. Можно ли разбить числа а) от 1 до 101; б) от 1 до 100 на несколько групп с равными произведениями чисел в этих группах?

Из круга, разделенного на 6 секторов, повыкидывали всех селедок и положили камни. За один ход разрешается положить или убрать два камня в соседние сектора. Можно ли получить в каждом секторе по одному камню, если сначала в круге было; а) 1 камень; б) 2 камня в соседних секторах; в) 2 камня в секторах, отстоящих через один.

58. Верно ли что: а) если число делится на 27, то и сумма его цифр делится на 27; б) если сумма цифр числа делится на 27, то и число делится на 27.

59. Можно ли разрезать квадрат 10х10 на фигурки вида ?

60. Вася задумал число от 1 до 16. Чтобы отгадать это число, Петя задает вопросы, на которые можно ответить “да” или “нет”. а) Как наверняка отгадать задуманное число за 4 таких вопроса? б) Доказать, что за 3 вопроса наверняка угадать число нельзя.

61. На какую цифру кончается число ?

62. Какое наибольшее число не бьющих друг друга слонов можно расставить на доске 8х8?

63. На математической олимпиаде кружковцы обменялись рукопожатиями (не обязательно каждый с каждым). Доказать, что количество кружковцев, сделавших нечетное число рукопожатий, четно.

64. Какое наименьшее число разломов с наложениями нужно сделать, чтобы разломать шоколадку 5х5 на маленькие плиточки 1х1?

65. Есть 239 шестеренок, сцепленных вкруговую (каждая шестеренка сцеплена с двумя, а 239-ая сцеплена с первой). Могут ли они вращаться?

66. На доске 9х9 расставлено 15 пешек так, что они симметричны относительно обеих главных диагоналей. Доказать, что на центральной клетке стоит пешка.

67. Найти все простые числа р такие, что число 5р+1 – тоже простое.

68. В салун, где Джо убил бармена, привезли 25 ящиков кока-колы трех разных сортов (в каждом ящике – только один сорт). Доказать, что есть хотя бы 9 ящиков с одним и тем же сортом кока-колы.

69. В классе 30 человек. Могут ли девять из них иметь по 3 друга, одиннадцать – по 4 друга и десять – по 5 друзей?

70. Что больше: или ?

71. Можно ли квадрат 10х10 разрезать на 23 фигурки и 4 “доминошки” ?

72. На какую цифру оканчивается число а) ; б) ?

73. Доказать, что .

74. 239 команд играют однокруговой турнир. Докажите, что в любой момент есть команда, сыгравшая четное число матчей.

75. Числа от 1 до 25 расставлены в строчку. Разрешается за 1 ход менять местами числа, стоящие через одно. Можно ли переставить числа в обратном порядке?

76. На шахматную доску 8х8 поставлено 8 не бьющих друг друга ладей. Докажите, что в квадратах 4х4, стоящих в противоположных углах доски, находится поровну ладей.

77. Найти число, которое в 9 раз больше суммы своих цифр.

78. Как взвесить на чашечных весах все массы в целое число грамм от 1 до 15 грамм с помощью гирь весом 1, 2, 4, 8 грамм, если ставить гири на чашу с грузом запрещается?

79. В строчку выписаны числа от 1 до 25. За ход разрешается поменять местами любые два числа, стоящие через два. Можно ли переставить числа в обратном порядке?

80. Доказать, что число а) 199519961997; б) 19951996199734 не является квадратом (второй степенью) никакого натурального числа.

81. Какое наибольшее число не бьющих друг друга ферзей можно расставить на доске 8х8?

82. Из доски 8х8 вырезали угловую клетку. Можно ли получившийся остаток разрезать на прямоугольники 3х1?

83. Вычислить 2+4+...+2n.

84. В салун, где оттерли кровь убитого ковбоем Джо бармена и распили привезенную кока-колу, привезли 100 упаковок жевательной резинки восьми сортов. При этом никакого сорта не было больше, чем 13 упаковок. Доказать, что хотя бы половина сортов имелись в количестве 13 упаковок.

85. Из столицы Тридевятого царства выходит 39 дорог, из крепости Дальняя выходит одна дорога, а из всех остальных городов царства выходит по 20 дорог (любые два города соединяются лишь одной дорогой и кольцевых дорог нет). Доказать, что гонец царя может проехать по дорогам из столицы в город Дальний.

86. Сравнить по величине и .

87. Может ли хулиган Вася на спор с хулиганом Петей обойти шахматным конем всю шахматную доску так, чтобы конь побывал на каждой клетке по одному разу и вернулся на начальную клетку?

88. В строчку написаны числа от 1 до 9.Хулиган Вася, устав ходить конем по доске, ставит перед каждым из этих чисел знак “+” или “–”. Мог ли он получить после соответствующих сложений и вычитаний а) число 0; б) число –1; в) какие числа он мог получить при различных расстановках знаков?

89.В Тридевятом царстве есть 100 городов. В правление царя Гороха каждые два города соединили прямой дорогой. Сколько всего дорог в Тридевятом царстве?

90.Доказать и запомнить формулы: а) ; б) ; в) .

91.Верно ли, что число простое при всех натуральных n?

92.В клетках квадрата 6х6 расставлены числа 0, 1, –1 (по одному в каждой клетке). Могут ли суммы чисел в строках, в столбцах и в двух главных диагоналях быть попарно различны?

93. Есть 101 монета, из которых одна фальшивая другого веса. Как определить, легче ли фальшивая или тяжелее, за два взвешивания на чашечных весах без гирь?

94. Примерный ученик Саша купил тетрадь из 96 листов и пронумеровал страницы от 1 до 192. Хулиган Вася вырвал из тетради какие-то 25 листов, а затем сложил номера страниц на этих листах. Мог ли он получить в ответе а) 1996; б) 9601?

95. В школе, где учится хулиган Вася, можно, если сильно постараться, списать любые три домашних задания, дав списать любые два, или наоборот (под словом “любые” подразумевается любой предмет и любая дата выдачи). Может ли Вася в обмен на 100 заданий по математике списать 100 заданий по русскому языку, дав списать в процессе обменов 1996 заданий?

96. Из доски 8х8 вырезали а) клетку а1; б) клетки а1 и h8. Можно ли остаток доски обойти шахматным конем, побывав на каждой клетке по одному разу и вернувшись на прежнее место?

97.Найти все простые числа р такие, что число – тоже простое.

98. На какую цифру кончается ?

99. Доказать и запомнить формулы: а) ; б) .

100. В математическом кружке 20 человек. Они решили 20 задач так, что каждый кружковец решил 2 задачи и каждую задачу решило 2 кружковца. Доказать, что можно организовать разбор задач так, что каждый кружковец расскажет одну задачу и все задачи будут рассказаны.

101. В гранитном карьере добыли 200 плит гранита, из которых 120 плит весят 7 тонн каждая, а остальные весят 9 тонн каждая. На железнодорожную платформу можно погрузить до 40 тонн. Какое минимальное число платформ понадобится для перевозки, если превращать плиты в щебень нельзя?

102. С набором из нулей и единиц можно проделать следующую операцию: взять любые две цифры и заменить в этих двух цифрах единицы на нули, а нули на единицы. Можно ли из набора (1,0,0,1,1) получить набор (0,1,1,1,1)?

103. Хулиган Вася за испорченную Сашину тетрадь получил пример: сосчитать . В ответе Вася получил а)19961997; б) 19971996; в) 199619961996. Получил ли Вася правильный ответ?

104. Из ненулевых попарно различных цифр а, b, c составили всевозможные трехзначные числа и сложили их. Доказать, что полученная сумма делится на 37.

105. Есть 3 кучки камней. В одной из них 1995 камней, в другой – 1996 камней, а в третьей – 1997 камней. За один ход можно разделить одну кучку на две меньших (если в кучке было больше одного камня). Двое ходят по очереди. Кто из них выиграет при правильной игре?

106. В любимом салуне ковбоя Джо поставили электрожаровню. Чтобы приготовить любимое блюдо Джо – запеченную сороконожку, надо обжаривать ее в течение 21 минуты. Как отмерить это время, имея пару песочных часов, одни из которых на 15 минут, а другие – на 9 минут?

107. Разрежьте бумажный квадрат а) 2х2; б) 3х3 на квадратики 1х1 одним взмахом ножниц, если квадрат можно cложить.

108. Является ли квадратом натурального числа а) 1234199663; б) 1234199674 ?

109. Хулиган Вася задумал поле шахматной доски. Коля отгадывает это поле, задавая вопросы, на которые Вася отвечает “да” или “нет”. Какое наименьшее количество вопросов нужно задать, чтобы наверняка угадать загаданное поле?

110. В клетках доски mxn стоят числа. При этом оказалось, что в каждой строке и в каждом столбце сумма чисел равна 100. Доказать, что таблица квадратная.

111. Доказать и выучить формулы: а) ; б) .

112. Доказать, что .

113. Что больше: или ?

114. Доказать, что число 123456789956 не является квадратом никакого натурального числа.

115. Сколько клеток нужно вырезать из доски 6х6, чтобы оставшиеся клетки не образовывали ?

116. Каких чисел больше среди чисел от 1 до 1996: тех, которые делятся на 8 и не делятся на 9 или тех, которые делятся на 9 и не делятся на 8?

117. Пусть р>3 – простое число. Докажите, что .

118. Докажите, что .

119. В лесу представители компании “Пень-инвест” вырубили треть всех дубов и шестую часть всех елок. Организация “Зеленые мстители” в своем отчете сообщила, что вырублена треть всех деревьев. Доказать, что эта организация ошиблась.

120. Натуральное число можно умножить на 2 и переставить в произвольном порядке его цифры (нельзя только 0 ставить на первое место). Доказать, что такими операциями нельзя получить из 1 число 78.

121. На доске написаны числа от 1 до 21. Хулиган Вася стирает два числа и пишет вместо них их разность. Мог ли в конце получиться 0?

122. В прямоугольной полоске 1´103 в крайних клетках стоят фишки (одна белая, другая черная). Двое по очереди ходят фишкой своего цвета вправо или влево на любое количество клеток от 1 до 4. Проигрывает тот, кто не может сделать ход (перепрыгивать через фишку противника нельзя). Кто выиграет при правильной игре?

123. Можно ли соединить 55 телефонов друг с другом так, чтобы 1 телефон был соединен с одним, 2 телефона были соединены с двумя, 3 телефона – с тремя, ..., 10 телефонов – с десятью?

124. Кузнечик прыгает из своего домика на прямой первым прыжком на 1 см, вторым прыжком – на 2 см, третьим – на 3 см и так далее. Может ли он за 238 прыжков вернуться в свой домик (прыгать можно в любую сторону).

125. Доказать, что среди любых 6 человек можно выбрать либо троих попарно знакомых, либо троих попарно незнакомых.

127. 200 солдат построили для парада в прямоугольник. Затем в каждой колонне выбрали самого высокого, а в каждой шеренге – самого низкого. Кто выше: самый высокий из самых низких в шеренгах или самый низкий из самых высоких в колоннах?

128. Можно ли разрезать доску 8х8 на 15 фигурок и одну фигурку ?

129. В клубе “Золотая лысина” ни у кого нет ровно 239 волос и у каждого члена клуба волос не больше, чем всего членов клуба. Какое максимальное число членов может быть в клубе, если у любых двух членов клуба разное количество волос?

130. Доказать формулу: .

131. Докажите, что если квадрат кончается на 5, то его предпоследняя цифра 2.

132. Может ли прямая, не содержащая вершин некоторого а) восьмиугольника; б) девятнадцатиугольника пересекать все его стороны?

133. В турнире по олимпийской системе (после каждого матча проигравший выбывает) участвуют 1000 команд. Сколько нужно провести матчей, чтобы выявить победителя?

134. По кругу стоят 9 чисел – 4 нуля и 5 единиц. Каждую секунду между двумя равными числами ставят единицу, а между неравными – нуль. Можно ли через некоторое время получить на окружности одни единицы?

135. Найти р, если – простые числа.

136. Какое наибольшее число не бьющих друг друга шахматных королей можно расставить на доске 8х8?

137. Имеется две кучки камней а) по 1996 камней в каждой кучке; б) в одной кучке 1996, а в другой – 1997 камней. За один ход разрешается взять любое количество камней, но лишь из одной кучки. Проигрывает тот, кто не может ходить. Кто выигрывает при правильной игре?

138. В стране 15 городов, из каждого выходит не менее 7 дорог. Доказать, что в этой стране из каждого города можно доехать в любой другой.

139.Вася играет в компьютерную игру "Змей Горыныч". У него есть два волшебных меча, один из которых может отрубить Змею 9 голов, а второй - 23, но тогда у Змея отрастает 239 новых. Может ли Вася отрубить Змею Горынычу все головы, если вначале их было 100? (Примечание. Если у Змея осталось, например, только восемь голов, то рубить их ни тем, ни другим мечом нельзя).

140. При помощи метода математической индукции докажите формулу:

141. Саша посадил божью коровку на страницу Васиной тетради по математике. Каждые полсекунды она переползает в соседнюю клетку. Доказать, что она вернется в исходную клетку разве лишь за целое число секунд (соседними считаются клетки, имеющие общую сторону).

142. В клубе "Серебряная лысина" ни у кого нет ровно 239 волос, и у каждого члена клуба волос меньше, чем всего членов клуба. Какое максимальное число членов может быть в клубе, если у любых двух членов клуба разное количество волос?

143. Доказать, что а)199634567175 б)199634568031 в)199634568166 не есть точный квадрат.

144. Докажите, что в числе не более ста цифр.

145. В числе как-то переставили цифры, после чего оно уменьшилось втрое. Доказать, что это число делилось на 27.

146.Верно ли, что если квадрат натурального числа делится на а)6, то он делится на 36; б)7, то он делится на 49; в)8, то он делится на 64?

147. Указать все способы вырезать 1 клетку из квадрата 9х9, чтобы остаток разрезался на "доминошки" 1х2.

148. Докажите, что дробь несократима (n - натуральное число).

149. В команде у капитана Сильвера 100 пиратов, из них 80 - без глаза, 85 - без уха, 75 - без носа. Каково наименьшее возможное количество пиратов, у которых нет ни глаза, ни уха, ни носа ?

150. Доказать, что среди 52 натуральных чисел найдутся два, сумма или разность которых делится на 100.

151. Двое по очереди ломают шоколадку размером 10х15 долек. За ход можно разломить любой имеющийся кусок вдоль линии. Проигрывает тот, кто первым получит дольку 1х1. Кто выигрывает при правильной игре ?

152. В стране из 15 городов в целях экономии решили ликвидировать лишние дороги так, чтобы из каждого города выходило ровно по 7 дорог. Докажите, что это невозможно сделать.

153. На столе выложили в ряд костяшки домино по правилам домино. На одном конце – пятерка. Что на другом?

154. На столе вместо домино лежит куча из 1001 камня. Ход состоит в том, что из какой-нибудь кучи, где лежит более одного камня, выкидывают один камень на помойку, а затем любую кучу делят на две произвольные части. Можно ли через несколько ходов получить лишь кучи, состоящие из трех камней?

155. 100 толстяков весом от 1 до 100 кг (все веса различны и исчисляются целым числом килограмм) занимаются в клубе. На какое наименьшее количество команд можно их разбить так, чтобы в каждой команде ни один толстяк не весил вдвое больше, чем другой?

156. Найти все простые числа р такие, что – также простые.

157. Можно ли гири с целыми весами от 1 до 1996 грамм разложить в три кучки с равным весом гирь в каждой?

158. Доказать, что из двух последних цифр квадрата натурального числа хотя бы одна четная.

159. Можно ли на очень большой клетчатой доске раскрасить 25 клеток так, чтобы у каждой закрашенной клетки было ровно 3 закрашенных соседних клетки?

160. Докажите, что число 57599 – составное (перебирать делители нельзя).

161. В кружке, где занимается Маша, более 93% учащихся – мальчики. Чему равно наименьшее возможное количество кружковцев?

162. Во всех клетках таблицы 3х3 стоят нули. За один ход разрешается выбрать из таблицы квадрат 2х2 и прибавить к каждому числу в этом квадрате по 1. Можно ли получить после нескольких таких ходов таблицу на рисунке?

163. Среди 12 монет имеется одна фальшивая. Найти ее за три взвешивания на чашечных весах без гирь, если не известно, легче она настоящей или тяжелее?

164. Натуральное число умножили на каждую из его цифр. В результате получилось 1995. Какое число умножали?

165. Хулиган Вася занялся общественно полезным трудом и стал пилить бревна на даче. Сколько было бревен, если за 52 распила получилось 72 полена?

166. Когда солдаты строились в колонну по 4, по 5 и по 6 человек, каждый раз оставался 1 лишний, а когда они построились в колонну по 7, то лишних не осталось. Какое наименьшее число солдат строилось?

167. Число n записано единицами и двойками, причем единиц в четыре раза больше, чем двоек. Доказать, что число n+1995 – составное.

168. Какое наибольшее число прямоугольников 1х4 можно поместить в квадрате 18х18 без наложений?

169. Найти все простые числа и такие, что их сумма и разность – тоже простые.

170. В классе послушных девочек столько же, сколько непослушных мальчиков. Кого больше – послушных детей или мальчиков?

171. Могут ли все цифры квадрата, не являющегося цифрой, быть одинаковыми?

172. В волейбольном однокруговом турнире назовем команду А сильнее команды В, если А выиграла у В или А выиграла у команды, которая выиграла у В. Доказать, что команда с наибольшим числом очков сильнее всех.

173. Во всех вершинах кубика, кроме одной, стоят нули, а в этой одной – единица. За ход разрешается прибавлять по единице к концам любого ребра куба.

а) Могут ли после нескольких таких операций получиться четные числа во всех вершинах?

б) Могут ли после нескольких таких операций получиться во всех вершинах числа, делящиеся на 3?

174. 100 пиратов капитана Сильвера разгружали тяжелые сундуки с добычей (каждый сундук тащили 7 пиратов). Капитан Сильвер подсчитал, что каждый пират участвовал в переноске 57 сундуков. Докажите, что он ошибся.

175. В таблице 10х10 расставлены числа. В каждой строке подчеркнуто одно из наименьших чисел, а в каждом столбце – одно из наибольших. Каждое число оказалось подчеркнуто дважды. Докажите, что все числа равны.

176. На доске 9х9 расставлены 9 не бьющих друг друга ладей. Каждая из них сходила ходом коня. Доказать, что теперь какие-то две ладьи бьют друг друга.

177. Найти все четырехзначные числа, которые в 83 раза больше суммы своих цифр.

178. В компании из 60 школьников среди каждых 10 человек есть трое одноклассников. Правда ли, что среди них обязательно есть а) 15 одноклассников; б) 16 одноклассников?

179. Хулиган Вася пошел с папой стрелять в тир. Они договорились, что сперва папа покупает Васе 5 пулек, а потом за каждый удачный выстрел покупает еще 2 пульки. Вася сделал 25 выстрелов. Сколько из них было удачных?

180. Можно ли в таблице а) 5х5; б) 6х6 расставить а)25; б)36 натуральных чисел так, чтобы сумма чисел во всех строчках была четной, а во всех столбцах – нечетной?

181. Можно ли провести в выпуклом шестиугольнике несколько диагоналей так, чтобы каждая пересекала во внутренних точках ровно три другие?

182. В стране 17 городов. Западная улица каждого города называется в честь какого-нибудь другого города. Армия вначале захватывает какой-то город, а на следующий день захватывает город, в честь которого названа западная улица последнего захваченного города. В некоторый момент оказалось, что свежезахваченный город уже был захвачен 17 дней назад. Доказать, что все города в стране к этому моменту уже захватили.

183. Не перебирая делители, доказать, что число 1030301 – составное.

184. (Современная задача про финансы) Указать все денежные суммы, которые можно уплатить как четным, так и нечетным количеством монет достоинством 1, 5, 10, 20 и 50 руб. (можно употреблять несколько монет одинакового достоинства).

185. На крайней правой клетке полоски 1х40 стоит фишка. Хулиган Вася и примерный мальчик Петя по очереди двигают фишку в любую сторону на такое количество клеток, которое еще не встречалось в предыдущих ходах.Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

186. Лягушонок Смит прыгает на очень большой клетчатой доске по диагоналям клеток. Может ли он, выбравшись из своего домика в одном из узлов доски, вернуться обратно через 1997 прыжков?

187. Все грани куба раскрашены в 2 цвета (каждая грань в свой цвет). Доказать, что найдутся две грани одного цвета, имеющие общее ребро.

188. На крайней правой клетке полоски 1х35 стоит фишка. Хулиган Вася и примерный мальчик Петя по очереди двигают фишку в любую сторону на такое количество клеток, которое еще не встречалось в предыдущих ходах. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

189. Все грани куба покрашены в 2 цвета (каждая грань в свой цвет). Докажите, что найдутся четыре пары одноцветных граней с общим ребром.

190. Какое наибольшее количество не бьющих друг друга коней можно расставить на доске 8х8?

191. У царя Гороха было 3 сына. Из потомков Гороха 98 имели лишь по двое сыновей, а остальные умерли бездетными. Сколько всего потомков было у царя Гороха?

192. – десятизначное число. Доказать, что какие-то две его цифры совпадают.

193. Докажите, что не существует натуральных чисел х, у таких, что

194. После игры №188 примерный мальчик Петя написал на доске числа 4, 5, 6. Пришел Хулиган Вася и стал производить такую операцию: стирать два числа а и b и писать вместо них . Мог ли он получить через несколько таких операций 7, 8, 9?

195. В квадрате 10х10 расставлены числа от 1 до 100. Докажите, что есть две соседние по стороне клетки, числа в которых различаются более чем на 5.

196. Существует ли натуральное число n такое, что а) ;

б) ?

197. В доску вбито а) 6 гвоздей; б)17 гвоздей так, что никакие три гвоздя не лежат на одной прямой. Каждая пара гвоздей соединена ниткой одного из а) двух; б) трех цветов. Доказать, что есть треугольник со сторонам – нитками одного цвета.

198. Докажите, что количество делителей числа нечетно тогда и только тогда, когда оно – точный квадрат.

199. Доказать, что дробь – несократимая при натуральных n.

200. Может ли точный квадрат записываться десятью шестерками и несколькими нулями?