Уравнение Шредингера, не содержащее времени

ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Кафедра № 59

ЛЕКЦИЯ

по учебной дисциплине “Квантовая и оптическая электроника”

Тема № 01 Электромагнитные волны оптического диапазона

Занятие № 03. Основные свойства и параметры оптического излучения

(продолжение)

Специальность: Информационная безопасность телекоммуникационных сетей

Обсуждено на заседании кафедры (ПМК)

Протокол № ______ от

“_____” _________________ 2014 г.

Санкт-Петербург

I. Учебные цели

Ознакомить с предметом и содержанием учебной дисциплины «Квантовая и оптическая электроника». Рассмотреть основные свойства и параметры оптического излучения

II. Воспитательные цели

Вызвать у студентов интерес к изучению дисциплин кафедры, в том числе и «Квантовая и оптическая электроника», составляющих важную теоретическую и практическую основу их будущей специальности.

III. Расчет учебного времени

IV. Литература

Основная литература:

1. Пихтин А.Н. Оптическая и квантовая электроника: Учеб. для вузов. – М.: Высш. шк., 2001.-573с.
2. Электронные квантовые приборы и микроэлектроника. /Под ред. Н.Д.Федорова. – М.: Радио и связь, 1998.-560с.
3. Оптоэлектронные элементы и устройства. /Под ред. Ю.В.Гуляева. М.: Радио и связь, 1998.-336с.
4. Быстров Ю.А. Оптоэлектронные приборы и устройства: Учебное пособие. – М.: ИП РадиоСофт, 2001.-256с.
5. Мартынов В.Н., Кольцов Г.И. Полупроводниковая оптоэлектроника.: Учебное пособие для вузов. – М.: МИСИС,1999

Дополнительная литература:

1. Убайдуллаев Р.Р. Волоконно-оптические сети. – М.: ЭкоТрендз, 1998.-272с.
2. Бутусов М.М. и др. Волоконно-оптические системы передачи. - М.: Радио и связь, 1992.-416с.
3. Яременко Ю.И. Волоконно-оптические системы передачи. - СПб.: ВАС, 1998.-140с.
4. Слепов Н.Н. Современные технологии цифровых оптоэлектронных сетей связи. - М.: Радио и связь, 2000.-468с.

V. Учебно-материальное обеспечение

Демонстрационная программа на ПЭВМ.

VI. Текст лекции

Введение

Принципиальное отличие оптоэлектронных устройств и приборов по сравнению с обычными электронными состоит в использовании оптического излучения. Как и радиоволны, опти­ческое излучение имеет такую же физическую природу, т. е. относится к классу электромагнитных волн

УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ

Уравнение Шредингера, не содержащее времени

Форма уравнения Шредингера показывает, что относитель-
но времени его решение должно быть простым, поскольку время
входит в это уравнение лишь через первую производную в правой
части. Действительно, частное решение для специального случая,
когда V не является функцией времени, можно записать в виде

Ψ (х, t) = ψ(x) ℮ ^{(-2πi/h)E t} , (7.7)

где функция ψ(x) должна удовлетворять (в одномерном случае) уравнению

(-h²/8π²m)• ∂² ψ(x)/ ∂x² + V(x) ψ(x) = E ψ(x), (7.8)

которое получается из уравнения (7.6 а) при подстановке в него (7.7). Заметим, что уравнение (7.8) вообще не содержит времени; в связи с этим оно называется уравнением Шредингера,не содержащим времени. Выражение (7.7) является лишь частным реше­нием зависящего от времени уравнения Шредингера (7.6), общее решение представляет собой сумму всех частных решений вида(7.7) Зависимость функции Ψ(x, t) от времени проста, но зависи­мость ее от координаты не всегда имеет элементарный вид, так как уравнение (7.8) при одном выборе вида потенциальной функ­ции V(x) совершенно отличается от того же уравнения при дру­гом выборе этой функции. В действительности уравнение (7.8) может быть решено аналитически лишь для небольшого числа частных типов функции V(x).

Важное значение имеет интерпретация величины Е в урав­нении (7.7). Она производится следующим путем: временная зависимость функции Ψ(x, t) в уравнении (7.7) имеет экспонен­циальный характер, причем коэффициент при t в показателе экс­поненты выбран так, что правая часть уравнения (7.8) содержит просто постоянный множитель Е. В левой же части уравнения (7.8)функция ψ умножается на потенциальную энергию V(x). Следовательно, из соображений размерности вытекает, что вели­чина Е должна иметь размерность энергии. Единственной вели­чиной с размерностью энергии, которая постоянна в механике, является полная (сохраняющаяся) энергия системы; таким об­разом, можно предполагать, что Е представляет собой полную энергию. Согласно физической интерпретации уравнения Шре­дингера, Е действительно является полной энергией частицы при движении, описываемом функцией Ψ (х, t).

2.Волновые функции свободных частиц

Итак, уравнение Шредингера, не содержащее времени (7.8), является уравнением первостепенной важности, и можно попы­таться получить его решение для случаев, когда известно силовое поле, характеризующееся потенциальной функцией V(x). Как и при использовании законов Ньютона, простейшая ситуация скла­дывается в случае, когда сила, действующая на частицу, равна нулю. Положим V(x)=0 и исследуем уравнение Шредингера. Ура­внение (7.8) принимает вид

∂²ψ 8n^zmE

—— + ———— ψ = 0

∂x² h² (7.9)

Это уравнение оказывается чрезвычайно простым, поскольку оно имеет тот же вид, что и уравнение, описывающее гармонический осциллятор, если время в этом уравнении заменить на х. Реше­ниями такого уравнения являются синус или косинус некоторого аргумента, однако более удобна экспоненциальная форма. Одним из решений (но не самым общим) является функция ψ =exp(ix√8π²mE/h), а

зависящая от времени Ψ-функция приобре­тает вид

Ψ(x,t) = exp [- 2πi/h ( Et — x√2mЕ)] . (7.10)

Эта функция описывает бегущую волну.

Ф и г. 7.3. Изображение бегу-
щей волны y=sin(kx—ωt).
Видно, как с течением времени фаза
данной точки равномерно переме-
щается вправо с фазовой скоростью ω/ k

Для подтверждения того, что решение (7.10) носит характер бегущей волны, рассмотрим струну, колеблющуюся со смеще­нием в направлении у, которое определяется как

у = е ^{i (kx-ωt)} . (7.11)

Смещение струны в момент времени t=0 равно e^ikx, т. е. выража­ется синусоидой с длиной волны λ=2n/k. Движение точки в на­чале координат х=0 описывается выражением е^iωt, которое также представляет собой синусоиду с периодом t=2π/ω. Пос­тоянная k называется вектором распространения, или волновым вектором, а ω — угловой частотой. Очевидно, в другой момент времени в другой точке колебание струны также является сину­соидальным, но его фаза сдвинута относительно фазы первона­чального колебания. Волна распространяется вдоль струны со скоростью v=ω/k, поскольку в момент времени t смещение (или фаза), находившееся в точке x=0 при t=О, сместилось в точку x=ωt/k (в качестве иллюстрации см. фиг. 7.3).

Функция Ψв (7.10) имеет тот же вид, что и волна в струне, и, таким образом, волновая функция для частицы представляет

собой бегущую волну. Этот вывод является полезным сам по се­бе, но, кроме того, с помощью простых соображений из формулы (7.10) можно получить два в высшей степени важных соотношения. Запишем сначала эту формулу в виде

Ψ= е ^{i (kx-ωt) ,}

где

_E=hω/2π (7-12)

Здесь частота 1 выражается через энергию системы. Постоянная I является также функцией энергии k=√8²mE/h. Представим | в .несколько ином виде; для этого заметим, что энергия в рас­сматриваемом случае является кинетической энергией [1/(л')=01. Следовательно, Е=р²/2m, где р — импульс частицы. Таким об­разом,

K=2p/h (7.13)

Соотношение (7.12), называемое соотношением Эйнштейна и соотношение (7.13), называемое соотношением де Бройля, уста­навливают, что движение частицы носит волновой характер. В со­вокупности они выражают собой одну из важнейших концепций квантовой механики, а именно представление о корпускулярно­волновом дуализме материи. Волновую природу материи исклю­чительно трудно понять с точки зрения классической физики, поскольку волны и частицы трактуются в ней как принципиаль­но отличные категории. Однако тот факт, что реальная частица действительно обладает длиной волны, определяемой соотноше­нием де Бройля, имеет неоспоримое экспериментальное обоснова­ние. Эксперименты по дифракции электронов, нейтронов, прото­нов и атомов не оставляют никаких сомнений в волновом характе­ре материи. Первое наблюдение волновых свойств электронов было осуществлено в 1927 г. Девиссоном и Джермером; за их работой последовало бесчисленное множество опытов над различ­ного рода частицами.

В какой же степени частицы, обладающие волновыми харак­теристиками, могут все же рассматриваться как реальные части­цы? Парадокс заключается в том, что частицы, например элект­роны, являются одновременно и «частицами и волнами. Разгадка этого парадокса может .быть такой: волновая функция электрона (если на него не действуют силы) представляет собой бегущую синусоидальную волну, но если электрон каким-то путем обна­руживается в действительности, он обнаруживается как реальная и вполне локализованная частица. Например, если пучок электронов падает на кристаллы при соответствующих энергетических и геометрических условиях дифракции, то волновая природа каждого отдельного электрона проявляется в дифракции электрона, словно он и в самом деле является волной. Корпускулярная природа электрона проявляется в том, что он не производит частичного возбуждения большого количества атомов. Более того, электрон внезапно появляется на одном из атомов и полностью передает атому всю свою энергию, чего и следовало ожидать, если считать электрон классической частицей, упруго соударяющийся с атомом. Отличие состоит в том, что до столкновения электрона с определенным атомом нельзя предсказать, с каким именно атомом, расположенным вдоль фронта волновой функции, столкнется этот электрон.