Сравнение двух генеральных средних

Рассмотрим две независимые выборки x₁,x₂,...,x_nи y₁,y₂,...,y_n, извлеченные из нормальных генеральных совокупностей с одинаковыми дисперсиями , причем объемы выборок соответственно n и m, а средние и дисперсия неизвестны. Требуется проверить гипотезу о том, что . Альтернативной является гипотеза .

Как известно, выборочные средние – нормально (или приблизительно - нормально) распреде-ленные величины, следовательно, их разность – нормальная величина со средним и дисперсией, которая вычисляется по формуле:

Если бы дисперсия была известна, мы могли бы для проверки гипотезы воспользоваться свойствами и таблицами нормального распределения, как мы это делали при построении довери-тельного интервала для среднего при известной дисперсии. В силу того, что неизвестна, заменим в наших рассуждениях неизвестную дисперсию на ее эмпирический аналог.

Итак, для проверки гипотезы построим статистику:

,

где

Теперь к статистике t применим те же рассуждения, которые мы применяли к статистике Т.

Если гипотеза верна, статистика t имеет распределение Стьюдента с n+m–2 степенями свободы и в качестве области I_bможно взять интервал, симметричный относительно 0, в который величина x, распределенная по Стьюденту, попадает с вероятностью b, т.е.

I_b= [–t_n+m–2;b+t_n+m–2;b], где P(|x| < t_n+m–2;b) = b.

Таким образом, если нам заданы две выборки и уровень значимости a, мы вычисляем значение статистики t и ищем по a, n и m в таблице 6 (в ней содержатся критические значения распределения Стьюдента) значение t_n+m–2;a. Если выполняется

то мы принимаем гипотезу о том что . И отвергаем гипотезу , если это неравенство не выполняется, так как произошло событие из дополнительной области, вероятность которой a. На рисунке 4.1 заштрихованная площадь (вероятность попасть в область) равна

,

на рисунке 4.2 заштрихована площадь a = 1–b области, где гипотеза не принимается.

Рисунок 4.1 Рисунок 4.2

Если оказалось, что , можно проверять гипотезу о том, что , когда альтернативной гипотезой является .В этом случае строится “односторонняя” область, попадание в которую дает основание принять основную гипотезу. А именно, в таблице 6 в нижней строке отыскивается a = 1 – b, где b – заданный уровень доверия, в строке с нужным числом степеней свободы находим границу интервала t_n+m–2;a. Далее, если выполняется:

то первая гипотеза неверна и принимается, что .

Можно проверять гипотезу о том, что , когда альтернативной гипотезой является . В этом случае также строится “односторонняя” область, попадание в которую дает основание принять первую гипотезу (рисунок 4.3). А именно, гипотеза о том, что не принимается, а принимается гипотеза тогда, когда

C помощью нижней строки таблица 6 распределения Стьюдента (см. приложение 3) мы решали уравнения:

P{d < –t_n+m–2;a} = a, и P{d > t_n+m–2;a} = a,

где a – уровень значимости.

Рисунок 4.3

Замечание.Было бы корректно сначала проверить гипотезу о равенстве дисперсий с помощью их выборочных оценок. Во второй части нашего руководства мы научимся делать такую проверку. Использовать значение статистики Т можно только, если прошла гипотеза о равенстве дисперсий. Если дисперсии и неизвестны и не предполагается, что они равны, статистика Т также имеет распределение Стьюдента. Но соответствующее ему число степеней свободы опреде-ляется приближенно и более сложным образом.

Итак, перечислим критерии, по которым проверяется статистическая гипотеза о том, что средние значения двух генеральных совокупностей, имеющих одинаковые дисперсии, совпадают (mx= my) на уровне значимости a. Они выведены из формул для двустороннего и одностороннего доверительного интервала для уровня доверия b = 1–a.

Вычисляем по выборке значение статистики t:

,

где

.

1. Критическая область для односторонней проверки гипотезы, что средние значения двух генеральных совокупностей совпадают ( ) по сравнению с альтернативой на уровне значимости a определяется неравенством:

|t| > t_n–1;a

(t_n–1;aотыскивается по таблице 6 критических значений распределения Стьюдента, a в нижней строке).

2. Критическая область для односторонней проверки гипотезы, что средние значения двух генеральных совокупностей совпадают ( ) по сравнению с альтернативой на уровне значимости a определяется неравенством:

t > t_n–1;a

(t_n–1;aотыскивается по таблице 6 критических значений распределения Стьюдента, a в нижней строке).

Если вычисленное значение статистики t попадает в критическую область, то основная гипотеза отвергается. Вероятность попадания в эту область равна принятому уровню значимости a. В этом случае принимается альтернативная гипотеза.

Пример 4.2. Результаты исследования двух сортов резины на покрышках (в баллах) приведены в таблице:

Сделать проверку гипотезы о том, что резина сорта А больше изнашивается, чем резина сорта В.

Дата добавления: 2015-04-11; просмотров: 13; Нарушение авторских прав