Тема 1.3 Системы счисления

Система счисления (СС) – система приемов и правил, которые позволяют устанавливать взаимно однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде совокупности конечного числа символов.

В зависимости от способа изображения чисел с помощью цифр системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах любое число определяется как некоторая функция от численных значений совокупности цифр, которые представляют это число. Цифры в непозиционных системах исчисления отвечают некоторым фиксированным числам. Пример непозиционной системы – римская система исчисления.

В электронных цифровых устройствах применяются позиционные системы счисления. Позиционной системой счисления называется потому, что значение каждой входящей в число цифры зависит от ее положения в записи числа.

Любая позиционная СС с основанием q может быть представлена в виде полинома:

A_(q) = r_nqⁿ + r_n–1q^n–1 + r_n–2q^n–2 + … + r₁q¹ + r₀q⁰ + r_–1q^–1 + …,

где A – число в позиционной СС с основанием q; r_i – коэффициент; n – степень и индекс.

Позиционные СС бывают различными в зависимости от основания:

1) Десятичная с основанием 10

[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9]

236₁₀ = 2∙10² + 3∙10¹ + 6∙10⁰

2) Восьмеричные с основанием 8

[0 1 2 3 4 5 6 7]

236₈ = 2∙8² + 3∙8¹ + 6∙8⁰ = 158₁₀

3) Шестнадцатеричная с основанием 16

[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F]

2АF₁₆ = 2∙16² + A∙16¹ + F∙16⁰ = 2∙16² + 10∙16¹ + 15∙16⁰ = 687₁₀

4) Двоичная с основанием 2

[0 1]

1011₂ = 1∙2³ +0∙2² + 1∙2¹ + 1∙2⁰ = 11₁₀

Таблица 1.3.1 – Методы перевода целых и дробных чисел в десятичную СС

Таблица 1.3.2 – Методы перевода целых и дробных чисел из десятичной СС

Для перевода чисел из одной СС в другую удобно использовать промежуточное преобразование числа в двоичную СС.

Таблица 1.3.3 – Методы перевода целых чисел из одной СС в другую СС