Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Тема 1.3 Системы счисления




Система счисления (СС) – система приемов и правил, которые позволяют устанавливать взаимно однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде совокупности конечного числа символов.

В зависимости от способа изображения чисел с помощью цифр системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах любое число определяется как некоторая функция от численных значений совокупности цифр, которые представляют это число. Цифры в непозиционных системах исчисления отвечают некоторым фиксированным числам. Пример непозиционной системы – римская система исчисления.

В электронных цифровых устройствах применяются позиционные системы счисления. Позиционной системой счисления называется потому, что значение каждой входящей в число цифры зависит от ее положения в записи числа.

Любая позиционная СС с основанием q может быть представлена в виде полинома:

A(q) = rnqn + rn–1qn–1 + rn–2qn–2 + … + r1q1 + r0q0 + r–1q–1 + …,

где A – число в позиционной СС с основанием q; ri – коэффициент; n – степень и индекс.

Позиционные СС бывают различными в зависимости от основания:

1) Десятичная с основанием 10

[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9]

23610 = 2∙102 + 3∙101 + 6∙100

2) Восьмеричные с основанием 8

[0 1 2 3 4 5 6 7]

2368 = 2∙82 + 3∙81 + 6∙80 = 15810

3) Шестнадцатеричная с основанием 16

[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F]

2АF16 = 2∙162 + A∙161 + F∙160 = 2∙162 + 10∙161 + 15∙160 = 68710

4) Двоичная с основанием 2

[0 1]

10112 = 1∙23 +0∙22 + 1∙21 + 1∙20 = 1110

Таблица 1.3.1 – Методы перевода целых и дробных чисел в десятичную СС

Тип преобразования Целые числа Дробные числа
Повторное умножение промежуточного результата на q и сложение со значением разряда данного числа. Первый промежуточный результат есть старший разряд Повторное деление промежуточного результата на q и сложение с разрядом данного числа. Первый промежуточный результат есть последний разряд, разделенный на q
Двоичное в десятичное 1∙2 + 1 = 3 3∙2 + 0 = 6 6∙2 + 1 = 13 13∙2 + 1 = 27 27∙2 + 0 = 54 54∙2 + 0 = 108   11011002 = 10810 1:2 = 0,5 (0,5 + 1):2 = 0,75 (0,75 + 0):2 = 0,375 (0,375 + 1):2 = 0,6875 (0,6875 + 0):2 = 0,34375 (0,34375 + 1):2 = 0,67187 (0,67187 + 0):2 = 0,33593   0,01010112 = 0,33593 ≈ 0,33610
Десятичное в восьмеричное 1∙8 + 5 = 13 13∙8 + 4 = 108   1548 = 10810 5:8 = 0,625 (0,625 + 0):8 = 0,078125 (0,078125 + 6):8 = 0,75976 (0,75976 + 5):8 = 0,71997 (0,71997 + 2):8 = 0,33999   0,256058 = 0,33999 ≈ 0,34010
Десятичное в шестнадцатеричное 6∙16 + 12 = 108   6С16 = 10810 A:16 = 0,625 (0,625 + 0):16 = 0,039062 (0,039062 + 6):16 = 0,75976 (0,75976 + 7):16 = 0,71997 (0,71997 + 5):16 = 0,33999   0,570A16 = 0,33999 ≈ 0,34010

 

Таблица 1.3.2 – Методы перевода целых и дробных чисел из десятичной СС

Тип преобразования Целые числа Дробные числа
Деление данного десятичного числа на q. Остатки дают превращенное число, которое читается в обратном направлении Повторное умножение данного десятичного числа на q. Разряд перед запятой дает разряд превращенного числа. При дальнейшем умножении используется лишь дробная часть промежуточного результата
Десятичное в двоичное 108:2 = 54 остаток 0 54:2 = 27 остаток 0 27:2 = 13 остаток 1 13:2 = 6 остаток 1 6:2 = 3 остаток 0 3:2 = 1 остаток 1 1:2 = 0 остаток 1   10810 = 11011002 0,34∙2 = 0,68 переносится 0 0,68∙2 = 1,36 переносится 1 0,36∙2 = 0,72 переносится 0 0,72∙2 = 1,44 переносится 1 0,44∙2 = 0,88 переносится 0 0,88∙2 = 1,76 переносится 1 0,76∙2 = 1,52 переносится 1   Прерывание 0,3410 = 0,01010112
Десятичное в восьмеричное 108:8 = 13 остаток 4 13:8 = 1 остаток 5 1:8 = 0 остаток 1   10810 = 1548 0,34∙8 = 2,72 переносится 2 0,72∙8 = 5,76 переносится 5 0,76∙8 = 6,08 переносится 6 0,08∙8 = 0,64 переносится 0 0,64∙8 = 5,12 переносится 5   Прерывание 0,3410 = 0,256058
Десятичное в шестнадцатеричное 108:16 = 6 остаток 12 6:16 = 0 остаток 6   10810 = 6С16 0,34∙16 = 5,44 переносится 5 0,44∙16 = 7,04 переносится 7 0,04∙16 = 0,64 переносится 0 0,64∙16 = 10,24 переносится 10   Прерывание 0,3410 = 0,570A8

 

Для перевода чисел из одной СС в другую удобно использовать промежуточное преобразование числа в двоичную СС.

Таблица 1.3.3 – Методы перевода целых чисел из одной СС в другую СС

Десятичное число Двоичное число Восьмеричное число Десятичное число Двоичное число Шестнадцатеричное число
A
B
C
D
E
F

 

Перевод [восьмеричное число] ↔ [двоичное число]
24518 = 010.100.101.001 = 101001010012
Восьмеричные цифры
Двоичные триады
1010011110102 = 101.001.111.010 = 51728
Двоичные триады
Восьмеричные цифры

 

Перевод [шестнадцатеричное число] ↔ [двоичное число]
4C716 = 0100.1100.0111 = 100110001112
Шестнадцатеричные цифры С
Двоичные тетрады
1010001111102 = 1010.0011.1110 = A3E16
Двоичные тетрады
Шестнадцатеричные цифры A E

 

Перевод [восьмеричное число] → [двоичное число] → [шестнадцатеричное число]
24518 = 010.100.101.001 = 101001010012
Восьмеричные цифры
Двоичные триады
101001010012 = 0101.0010.1001 = 52916
Двоичные тетрады
Шестнадцатеричные цифры
24518 = 010.100.101.001 = 101001010012 = 0101.0010.1001 = 52916
Перевод [шестнадцатеричное число] → [двоичное число] → [восьмеричное число]
4C716 = 0100.1100.0111 = 100110001112
Шестнадцатеричные цифры С
Двоичные тетрады
100110001112 = 010.011.000.111 = 23078
Двоичные триады
Восьмеричные цифры
4C716 = 0100.1100.0111 = 100110001112 = 010.011.000.111 = 23078
               

Поделиться:

Дата добавления: 2015-04-11; просмотров: 100; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты