Краткая теория. Работа 3. Кинематика маятника Обербека

Работа 3. Кинематика маятника Обербека

И.Б. Стаценко, И.И. Марончук, А.Г. Рипп

Цель работы

Целью настоящей работы является изучение ускоренного вращательного движения маятника Обербека и измерение углового ускорения маятника.

Описание экспериментальной установки

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAsantXL8A AADbAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbERPS2uDQBC+B/oflinkFldTCcG4igRKe2zT9j64U5W6 s8bd+Pj32UKht/n4npOXi+nFRKPrLCtIohgEcW11x42Cz4/n3RGE88gae8ukYCUHZfGwyTHTduZ3 mi6+ESGEXYYKWu+HTEpXt2TQRXYgDty3HQ36AMdG6hHnEG56uY/jgzTYcWhocaBzS/XP5WYU0JtM V588dVfcf1Xm9tLMaVoptX1cqhMIT4v/F/+5X3WYf4DfX8IBsrgDAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgA AAAhAPD3irv9AAAA4gEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwEC LQAUAAYACAAAACEAMd1fYdIAAACPAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAuAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwEC LQAUAAYACAAAACEAMy8FnkEAAAA5AAAAEAAAAAAAAAAAAAAAAAApAgAAZHJzL3NoYXBleG1sLnht bFBLAQItABQABgAIAAAAIQCxqe1cvwAAANsAAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAJgCAABkcnMvZG93bnJl di54bWxQSwUGAAAAAAQABAD1AAAAhAMAAAAA " fillcolor="#dce6f2">

Краткая теория

Вращение материального объекта – такой вид движения, при котором все точки объекта движутся по параллельным окружностям разных радиусов, причём центры этих окружностей лежат на прямой линии, перпендикулярной всем окружностям. Эта линия называется осью вращения. Точки, принадлежащие оси вращения (осевые точки) – исключение: они не вращаются

Быстроту вращения твёрдого тела количественно характеризует скорость изменения угла поворота, то есть производная . Эта производная обозначается буквой w и называется угловой скоростью или циклической частотой вращения. Если циклическая частота с течением времени не изменяется, то есть , то вращение называется равномерным. Если циклическая частота изменяется, то для количественного описания быстроты её изменения вводится величина , называемая угловым ускорением. Угловое ускорение тоже может быть либо постоянным, либо изменяющимся с течением времени. В случае вращение называется равноускоренным, циклическая частота при этом нарастает со временем. В случае вращение называется равнозамедленным, циклическая частота при этом убывает со временем.

В данной лабораторной работе маятник Обербека, вначале неподвижный, разгоняется, и его циклическая частота w нарастает. Оказывается, что при этом выполняется условие , так что вращение маятника – равноускоренное. Проверка этого факта составляет главную задачу лабораторной работы.

Выясним особенности равноускоренного вращения. Для этого, прежде всего, выясним, какими являются уравнения кинематики маятника, то есть функции j(t) и w(t). Из определения циклической частоты и углового ускорения

(2.1)

следуют обратные формулы:

, (2.2)

. (2.3)

Подстановка в (2.3) условия даёт:

.

C – это произвольная постоянная, которую можно определить из начального условия . В итоге C = 0, так что при равномерном вращении

, (2.4)

то есть циклическая частота w прямо пропорциональна времени вращения. Иными словами, она возрастает равномерно: за равные промежутки времени на одну и ту же величину. Формула (2.4) есть одно из уравнений кинематики равноускоренного вращения. Второе получается при подстановке (2.4) в (2.2):

.

Произвольную постоянную C₂ можно определить из начального условия . Она тоже оказывается равной нулю, так что при равномерном вращении

. (2.5)

Это – второе уравнение кинематики равноускоренного вращения.

Оба уравнения кинематики (2.4) – (2.5) и условие следуют друг из друга, поэтому для того, что экспериментальным путём убедиться в том, что вращение маятника – равноускоренное, достаточно проверить любое из уравнений. Более простое для проверки – уравнение (2.4), означающее, что циклическая частота w прямо пропорциональна времени вращения. Графиком прямо пропорциональной зависимости является прямая линия, проходящая через начало координат. Поэтому, если измерить частоту вращения маятника в разные моменты времени, а затем построить график экспериментальной зависимости w(t), то экспериментальные точки должны лечь на прямую линию[2]. Если это получится, значит, вращение маятника – равноускоренное.

Убедившись в том, что вращение маятника – равноускоренное и точки на графике экспериментальной зависимости w(t) лежат на прямой линии, можно измерить угловое ускорение маятника. Для этого достаточно взять на прямой любую точку – не экспериментальную, а любую точку, принадлежащую проведённой экспериментальной прямой, измерить её координаты (t; w) и затем, использовав формулу (2.4), определить значение e.

Теперь надо выбрать способ измерения времени и частоты.

Время можно мерить секундомером, то есть прямым способом.

Частоту придётся измерять косвенно. Исключив из системы уравнений (2.4) и (2.5) неизвестное угловое ускорение e, можно получить уравнение, связывающее w и j:

. (2.6)

Для измерения угла поворота j удобно связать его с количеством полных оборотов маятника N. Если N = 1, то . Если N = 2, то и так далее, так что и тогда

. (2.7)

Эта формула и определяет способ измерения циклической частоты. Правда, этот способ нельзя считать универсальным, он является правильным лишь при условии, что вращение маятника – равноускоренное. Итак, для измерения циклической частоты вращения маятника удобно выбирать такие моменты времени, в которые маятник совершил какое-то полное число оборотов. Подсчитав это число оборотов N и измерив время t, за которое совершены эти N оборотов, можно с помощью формулы (2.7) косвенно измерить значение w в момент времени t.