Пример решения.

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Филиал «СЕВМАШВТУЗ» государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» в г. Северодвинске

Курзанова Е. В.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по кинематике

Северодвинск

УДК-531

Теоретическая механика: Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по кинематике./Сост. Е. В. Курзанова – Северодвинск: РИО Севмашвтуза, 2007 – 16с.

Методические указания предназначены для студентов всех специальностей, изучающих курс «Теоретическая механика». Методические указания по теоретической механике раздел “Кинематика” разработаны для выполнения расчетно-графической работы по теме: «Прямолинейное и криволинейное движение точки».

Указания содержат основные положения рассматриваемой темы, план решения расчетно-графической работы, таблицу с заданиями, пример решения.

Рецензенты: старший преподаватель Л.А. Ковалёв

к.т.н., доцент Д.В. Кузьмин

ведущий специалист НИТИЦ ФГУП

«ПО «СЕВМАШ» Ю.П. Голованов

Печатается по решению редакционно-издательского совета Севмашвтуза.

© СЕВМАШВТУЗ, 2007 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Основные понятия раздела «Кинематика точки». 5

1. Содержание задания. 6

1.1. План выполнения задания. 6

1.2. Таблица с исходными данными. 8

1.3. Пример решения. 10

1.4. Вопросы для защиты расчётно-графической работы: “Кинематика точки”. 12

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ... 15

ПРЕДИСЛОВИЕ

Методические указания к выполнению расчетно-графической работы содержат основные теоретические понятия раздела кинематика точки.

В методических указаниях содержатся план решения задания, таблица с заданиями, пример решения.

Целью методических указаний является оказание помощи студентам при решении задач по разделу теоретической механики: «Кинематика точки».

Методические указания предназначены для студентов всех специальностей, изучающих курс «Теоретическая механика».

Основные понятия раздела «Кинематика точки».

Тема: Кинематика точки. Прямолинейное и криволинейное движение

точки.

Кинематика – раздел теоретической механики, изучающий законы механического движения с геометрической точки зрения (без учета действующих сил и существующих масс).

Основная задача кинематики – уметь устанавливать вид траектории, находить кинематические характеристики (скорость, ускорение).

Траектория точки – это линия по которой движется точка. Траектория может быть прямолинейной или криволинейной. Вид траектории зависит от выбранной системы отсчёта и от характера движения.

Существует три способа задания движения:

1. Радиус-векторный

.

2. Координатный:

; ; .

3. Естественный.

.

Скорость характеризует быстроту движения, ускорение характеризует быстроту изменения скорости.

В задании К-1 необходимо по заданным в координатной форме уравнениям движения точки установить вид траектории и определить значения скорости и ускорений (полное, касательное, нормальное).

Задача должна быть решена аналитически и графически.

Содержание задания.

По заданным уравнениям движения точки установить вид её траектории и для момента времени найти положение точки на траектории, её скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в соответствующей точке.

План выполнения задания.

1. Установить вид траектории по заданным уравнениям движения.

Если в одном уравнении существует линейная зависимость от времени, то необходимо исключить время из этого уравнения. Найденное значение t нужно подставить в оставленное уравнение или и получить зависимость или .

Далее необходимо в выбранном масштабе построить график траектории (задавая значения y получить значения x или наоборот).

Если зависимость x(t) и y(t) тригонометрическая (например ; ), то уравнения приводятся к следующему виду: или .

Получаем уравнение окружности с центром в начале декартовой системы координат (без смещения), радиус окружности R=7 см.

При наличии свободных членов в уравнении, например:

;

уравнение можно привести к следующему виду:

.

Получаем уравнение окружности с центром в точке О (5; -4) – IV четверть декартовой системы координат, радиусом R=7 см – уравнение окружности со смещением.

Если после преобразований получится уравнение вида: - уравнение эллипса с центром в начале координат. Точки пересечения с осью ; с осью . Таким образом, после возможных преобразований и упрощений траектории должны приводиться к следующему виду: парабола, прямая, гипербола, окружность, окружность со смещением, эллипс, эллипс со смещением.

2. Найти положение точки М на траектории. Для этого нужно подставить заданное значение в уравнение и

Дифференцируя x=f(t) по времени, находим значение - скорость, как проекцию на ось ОХ:

Найти значение при заданном значении , построить из точки М как вектор.

Находим значение - ускорение как проекцию на ось ОХ:

;

Найти значение при заданном значении t построить из точки М как вектор.

3. Найти и построить значения ; .

4. Найти и построить значения скорости .

Скорость должна быть направлена по касательной к траектории, исходящей из точки М.

5. Найти и построить значения касательного (тангенциального) ускорения по следующей формуле:

.

Если >0, то вектор совпадает с вектором , если <0, то вектор направлен в противоположную сторону вектора .

6. Вычислить значение полного ускорения . Построить полное ускорение a, как диагональ параллелограмма, построенного на векторах и .

7. Вычислить значение нормального ускорения

.

Построить вектор как перпендикуляр к вектору или , исходящий из точки М.

В случае уравнения траектории в виде окружности - центростремительное ускорение, должно пройти через центр окружности.

В случае уравнения траектории имеющего вид прямой - отсутствует.

8. Построить полное уравнение a, как диагональ параллелограмма, построенного на векторах и . Оно должно совпасть со значением a, найденного из пункта 7 плана.

9. Вычислить значение радиуса кривизны траектории по формуле .

Если уравнение траектории окружность, то .

Если уравнение траектории прямая, то стремится к бесконечности.

Таблица с исходными данными.

Задание 1.

По заданным уравнениям движения точки М установить вид её траектории и для момента времени t=t₁ (сек) найти положение точки на траектории, её скорость, полное, касательное и нормальное ускорение, а также радиус кривизны траектории в соответствующей точке.

Необходимые для решении данные приведены в Таблице 1.

Таблица 1.

Номер варианта	Уравнения движения	t1, сек
x=x(t), см	y=y(t), см
			0

Пример решения.

Исходные данные в см и сек:

x=4t

y=16t²-1

Решение

Уравнения движения (1) являются параметрическими уравнениями траектории точки М. Чтобы получить уравнения траектории в обычной координатной форме, исключим время t из уравнений движения.

Тогда

y=x²-1

Это выражение есть уравнение параболы.

Для определения скорости точки находим проекции скорости на оси координат:

см/сек;

см/сек.

Модуль скорости точки

Аналогично проекции ускорения точки

; см/сек².

Модуль ускорения точки

=32 см/сек².

Координаты точки, а также её скорость, ускорение и их проекции на координатные точки для заданного момента времени t=1/2 сек приведены в таблице 2.

Таблица 2.

Координаты, см	Скорость, см/сек	Ускорение, см/сек2	Радиус кривизны, см
x	y
				16.5					7.94	34.3

Касательное ускорение находим путём дифференцирования модуля скорости (3):

,

При t=1/2 сек

см/сек².

Следовательно, модуль касательного ускорения

см/сек².

Знак “+” при показывает, что движение точки ускоренное и, следовательно, направление и совпадают.

Нормальное ускорение точки в данные момент времени

см/сек².

Радиус кривизны траектории в той точке, где при t=1/2 сек находиться точка М,

см.

Полученные значения , и также приведены в таблице 2.

Пользуясь уравнением (2), вычерчиваем траекторию (Рис. 1) и показываем на ней положение точки М в заданный момент времени. Вектор строим по составляющим и , причём этот вектор должен быть направлен по касательной к траектории точки. Вектор находим как по составляющим и , так и по и , чем контролируется правильность вычислений.

1.4. Вопросы для защиты расчётно-графической работы: “Кинематика точки”.

Вариант 1.

1. Что показывает ?	а) изменение скорости в единицу длины б) изменение расстояния в единицу времени
2. Что характеризует ?	а) изменение по величине б) изменение по направлению
3. Как направлены и в равноускоренном прямолинейном движении?
4. Как направлены , и в равнозамедленном криволинейном движении?
5. Какое движение называется равномерным?	а) б)
6. Какие графики соответствуют равнозамедленному движению?
7. Какие уравнения соответствуют равномерному движению?	а) б) в)
8. Тело движется равномерно по криволинейной траектории. Какие равенства соответствуют этому движению?	а) ; б) ; в) ; г) ;

Вариант 2.

1. Что показывает ?	а) изменение скорости в единицу длины б) изменение расстояния в единицу времени
2. Что характеризует ?	а) изменение по величине б) изменение по направлению
3. Как направлены и в равнозамедленном прямолинейном движении?
4. Как направлены , и в равноускоренном криволинейном движении?
5. Какое движение называется равнопеременным?	а) б)
6. Какие графики соответствуют равноускоренному движению?
7. Какие уравнения соответствуют равноускоренному движению?	а) б) в)
8. Тело движется равномерно по прямолинейной траектории. Какие равенства соответствуют этому движению?	а) ; б) ; в) ; г) ;

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Яблонский А.А. Сборник заданий по теоретической механике.- М. Высшая школа, 1985.-366с.

2. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики.- М.: Высшая школа, 1986.-415с.

3. Добронравов В.В. Курс теоретической механики.- М.: Высшая школа, 1974.-526с.

Теоретическая механика:

Методические указания к выполнению

Расчетно-графических работ по

кинематике.

Составитель:

Курзанова Елена Викторовна

Компьютерный набор, верстка автора

Подготка к печати О. А. Мартиросян

Сдано в производство 04.07 г. Подписано в печать 04.08 г.

Уч.-изд. Л.0,31.Формат 84х108¹/₁₆. Усл.-печ. Л. 1.68

Изд. №720. Заказ № 697.

Редакционно-издательский отдел Севмашвтуза

164500, г. Северодвинск, ул. Воронина, д.6