Кинематика материальной точки

Кинематика представляет собой раздел механики, изучающий формальные характеристики движения независимо от причин, вызывающих движение. Модельным объектами кинематики, как и всей механики, являются материальная точка и абсолютно твердое тело. В данном разделе рассмотрена кинематика материальной точки.

Положение частицы в пространстве характеризуется радиус-вектором . Изменение положения частицы характеризуется вектором перемещения . Первая и вторая производные радиус-вектора по времени представляют собой соответственно скорость и ускорение. Во всех приводимых формулах точка означает дифференцирование по времени.

(1.1)

(1.2)

Линия, по которой движется тело, называется траекторией. Длина траектории представляет собой путь (s). Путь – скалярная величина. Производная пути по времени представляет собой абсолютную величину скорости

(1.3)

Вектор ускорения материальной точки может быть разложен на составляющие, направленные вдоль траектории и перпендикулярно ей. Эти составляющие называются соответственно тангенциальным ( ) и нормальным ( ) ускорениями.

(1.4)

Тангенциальное ускорение отвечает за изменение абсолютной величины скорости Его значение (в смысле проекции вектора ускорения на единичный вектор, касательный к траектории) находятся по формуле

(1.5)

Нормальное ускорение отвечает за изменение направления вектора скорости. Его значение находится по формуле

(1.6)

где R – радиус кривизны траектории в соответствующей точке. Под радиусом кривизны следует понимать радиус окружности, которая аппроксимирует истинную траекторию на ее малом участке. Центр этой окружности называется центром кривизны траектории в данной точке.

При движении по окружности радиуса R положение точки на ней задается углом поворота j. Первая и вторая производные угла поворота по времени представляют собой соответственно угловую скорость w и угловое ускорение b. Связь между линейной и угловой скоростью дается выражением

(1.7)

Формула (1.7) может использоваться и при движении по произвольной траектории, если под R понимать радиус кривизны.

ЗАДАЧИ

1. Покоившееся в начале координат тело в момент времени t = 0 начинает двигаться с ускорением Найти: а). Закон движения тела ; б). Зависимость величины тангенциального ускорения от времени.

Ответ: ;

2. Скорость частицы задана формулами , , , где A и B – константы. Найти величины нормального, тангенциального и полного ускорений.

Ответ: ; ;

3. Координаты тела при движении в плоскости меняются по закону ; , где a, b, w - константы. Как изменяются со временем величины полного, тангенциального и нормального ускорений и мгновенный радиус кривизны траектории тела? Найти и нарисовать траекторию движения тела.

Ответ: ; ; ; ;

15. Скорость частицы задана формулами: , , . Найти тангенциальное, нормальное и полное ускорения.

Ответ: , ,

16. Тело движется по окружности радиуса R с угловой скоростью . Как зависит от времени модуль вектора ускорения?

Ответ:

17. Тело движется в плоскости по закону ; , a, b - константы. Найти зависимость нормального ускорения тела от времени

Ответ:

18. В момент времени t = 0 тело начинает вращаться по окружности радиуса R с угловой скоростью, зависящей от времени по закону , где w₀ и t - константы. Найти: 1). путь, пройденный телом до остановки; 2). зависимость модуля полного ускорения тела от времени.

Ответ: ,

19. Тело брошено со скоростью v₀ под углом a к горизонту. Найти нормальное и тангенциальное ускорения и радиус кривизны траектории в трех точках: начальной, верхней и конечной. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: начальная и конечная точки (модули): , , .

Верхняя точка: , ;

9. Одна из частиц пылевого облака (точка A) покоится, а остальные разлетаются от нее со скоростями, определяемыми выражением (a = const, – радиус-вектор, проведенный из точки A). Какую картину обнаружит наблюдатель, движущийся вместе с точкой B?

Ответ: Все частицы разлетаются радиально от точки В.

10. Мальчик плывет со скоростью, в два раза меньшей скорости течения реки. В каком направлении к другому берегу он должен плыть, чтобы его снесло течением как можно меньше?

Ответ: 30° от направления перпендикуляра к берегам

11. Частица движется горизонтально со скоростью v₀ и попадает в зону ширины L (расположенную вдоль направления движения частицы), где ей сообшается постоянное вертикальное ускорение a₀. С какой скоростью и под каким углом к горизонтали частица покинет зону?

Ответ: ;

12. Тело начинает двигаться из точки A и движется сначала равноускоренно в течение времени t₀, затем с тем же по модулю ускорением – равнозамедленно. Через какое время от начала движения тело вернется в точку А?

Ответ:

13. Тело движется вдоль оси х, его скорость меняется по закону v(t) = v₀cos(2pt/T). Найти путь, пройденный телом за время от T/8 до T/4.

Ответ:

14. Закон движения точки обода колеса, катящегося равномерно по горизонтальному пути (ось X), имеет вид , . Найти: а). путь, пройденный точкой А между двумя последовательными касаниями полотна дороги; б). модуль и направление ускорения точки А.

Ответ: s = 8b; a = bw² (к центру колеса)

15. Пассажир первого вагона поезда длины L прогуливался по перрону. Когда он был рядом с последним вагоном, поезд начал двигаться с ускорением a. Пассажир сразу же побежал со скоростью v. Через какое время он догонит свой вагон?

Ответ:

16. Тело движется из начала координат, замедляясь по прямой с ускорением, модуль которого зависит от скорости как , где a = const. В начальный момент времени скорость равна v₀. Где остановится тело?

Ответ:

17. Воздушный шар поднимается вверх с постоянной скоростью v₀ и сносится ветром. Скорость ветра зависит от высоты по закону v_x = ay, где a > 0. Найти уравнение траектории шара и зависимости нормального, тангенциального и полного ускорений от высоты.

Ответ: , , ,

18. Точка движется в плоскости ХУ по закону , , где с и w - положительные постоянные. Найти путь, проходимый точкой за время t.

Ответ:

19. Частица движется в положительном направлении оси X так, что ее скорость меняется по закону , где a > 0. Пусть при t = 0 x = 0. Найти зависимость от времени скорости и ускорения частицы.

Ответ: ,

20. Собака бежит равномерно со скоростью v так, что вектор скорости все время нацелен на лису, которая в свою очередь бежит прямолинейно и равномерно со скоростью u < v. В начальный момент времени ^ и расстояние между собакой и лисой равно L. Через какое время собака догонит лису?

Ответ:

21. В сферической лунке прыгает шарик, упруго ударяясь о стенки в двух точках, расположенных на одной горизонтали. Промежуток времени между двумя столкновениями при движении слева направо равен T₁, а при движении справа налево – T₂. Определить радиус лунки.

Ответ:

22. Один конец раздвижной штанги закреплен на ободе колеса радиуса R, а второй шарнирно закреплен на расстоянии 2R от центра колеса. Колесо вращается с постоянной угловой скоростью w. Найти амплитуду качания штанги и два полупериода ее движения.

Ответ: , ,

23. Радиус-вектор материальной точки меняется по закону . Найти величину тангенциальной составляющей ускорения.

Ответ:

24. Модуль скорости частицы меняется со временем по закону , где a и β – положительные постоянные. Модуль ускорения частицы равен 3a. Найти тангенциальное и нормальное ускорения в зависимости от времени.

Ответ: ,

25. Идет отвесный дождь. Скорость капель равна u. По асфальту со скоростью v скользит мяч. Во сколько раз за один и тот же промежуток времени на него попадет больше капель, чем на неподвижный мяч?

Ответ:

26. Скорость течения реки зависит от расстояния до берега квадратично по закону , где y – расстояние до берега, b – ширина реки, u₀ – скорость в середине реки. Гребец гребет перпендикулярно берегу, скорость лодки относительно воды равна v. Найти снос лодки.

Ответ:

27. Кот Леопольд сидел у края крыши сарая. Вредный мышонок выстрелил в него из рогатки. Вектор начальной скорости камня был направлен точно на кота. Однако камень, описав дугу, упал у основания сарая через время t. Чему равна высота сарая?

Ответ:

28. Три жука находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной a. Они начинают одновременно ползти с постоянной по модулю скоростью v так, что первый жук все время держит курс на второго, второй – на третьего, третий – на первого. Через какое время жуки встретятся?

Ответ:

29. Двигатели космического корабля, движущегося со скоростью v₀, включаются на торможение, создавая ускорение , и не выключаются. Каким должен быть параметр t, чтобы корабль остановился? Каков при этом будет его тормозной путь?

Ответ: ,

30. Подводная лодка, погружающаяся вертикально и равномерно, испускает звуковые импульсы длительностью t₀. Длительность импульса, отраженного от дна, равна t. Скорость звука с. Найти скорость лодки.

Ответ:

31. Из полусферического аквариума радиуса R, наполненного водой, с единицы поверхности воды в единицу времени испаряется объем жидкости q. Через какое время вся вода испарится?

Ответ:

32. Тело налетает на стенку со скоростью v под углом a к линии, перпендикулярной стенке. Стенка движется со скоростью w перпендикулярно самой себе навстречу телу. Определить в лабораторной системе отсчета модуль скорости тела после упругого удара о стенку. При ударе скорость стенки не меняется.

Ответ:

33. Дымовая шашка падает вертикально с высоты H с нулевой начальной скоростью. Дым сносится ветром, который дует горизонтально на всех высотах с постоянной скоростью v₀. На какое расстояние будет снесен дым относительно вертикальной траектории шашки на высоте h от поверхности Земли в момент падения шашки на Землю?

Ответ: