Электрических цепей.

Важным вопросом этого раздела является расчет распределения токов в сложных линейных цепях с несколькими источниками. Классическим методом расчета таких цепей является непосредственное применение законов Кирхгофа. Все остальные методы расчета исходят из этих фундаментальных законов электротехники.

Рассмотрим сложную электрическую цепь (рис.1), которая содержит m (в данной цепи m=6) ветвей. Если будут заданы величины всех э.д.с. и сопротивлений, а по условию задачи требуется определить токи в ветвях, то мы будем иметь задачу с шестью неизвестными. Такие задачи решаются при помощи законов Кирхгофа. В этом случае должно быть составлено столько уравнений, сколько неизвестных токов.

Порядок расчета:

1. Если цепь содержит последовательные и параллельные соединения, ее упрощают, заменяя эти соединения эквивалентными.

2. Произвольно указывают направления токов во всех ветвях. Если принятое направление тока не совпадает с действительным, то при расчете такие токи получаются со знаком «минус».

3. Составляют (n-1) уравнений по первому закону Кирхгофа (n-число узлов).

4. Недостающие уравнения составляют по второму закону Кирхгофа, при этом обход контура можно производить как по часовой стрелке, так и против нее. За положительные э.д.с. и токи принимаются такие, направление которых совпадает с направлением обхода контура. Направление действия э.д.с. внутри источника всегда принимают от минуса к плюсу (см. рис. 1).

Рис.1 Рис.2

5. Полученную систему уравнений решают относительно неизвестных токов. Составим расчетные уравнения для электрической цепи, изображенной на рис. 1. Выбрав произвольно направление токов в ветвях цепи, составляем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов a, b и c:

(1)

Приняв направление обхода контуров по часовой стрелке, составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для трех произвольно выбранных контуров:

для контура adkba

E1 = r₁I₁-_{_}r₃I₃ +r₀₁I₅; (2)

для контура bacldkb

0 = - r₁I₁+ r₂I₂ + r₄I₄ (4)

Решая совместно уравнения (1), (2), (3) и (4), определяем токи в ветвях электрической цепи.

Легко заметить, что решение полученной системы из шести уравнений является весьма трудоемкой операцией. Поэтому при расчете сложных электрических цепей целесообразно применить метод контурных токов (метод ячеек), который позволяет уменьшить число уравнений, составляемых по двум законам Кирхгофа, на число уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа. Следовательно, число уравнений, составляемых по методу контурных токов, равно m-n+1. При решении методом контурных токов количество уравнений, определяется числом ячее. Ячейкой будем называть такой контур, внутри которого отсутствуют ветви. В нашем случае таких контуров-ячеек три: badkb, aclda и mncabm.

Расчет сложных электрических цепей методом контурных токов ведется следующим образом:

1. Вводя понятие «контурный ток», произвольно задаемся направлением этих токов в ячейках. Удобнее все токи указать в одном направлении, например по часовой стрелке (рис. 2).

2. Составляем для каждого контура-ячейки уравнения по второму закону Кирхгофа. Обход контуров производим по часовой стрелке:

первый контур:

(5)

второй контур:

- (6)

третий контур:

(7)

Решая совместно уравнения (5), (6), (7), определяем контурные токи. В том случае, когда контурный ток получается со знаком «минус», это означает, что его направление противоположно выбранному на схеме.

3. Токи во внутренних ветвях схемы определяются как сумма или разность соответствующих контурных токов. В том случае, когда контурные токи в ветви совпадают, берут сумму, а когда направлены навстречу – из большего тока вычитают меньший.

4. Токи во внешних ветвях схемы равны по величине соответствующим контурным токам.

Задача 1. Рассчитать сложную цепь постоянного тока для схемы изображенной на рисунке 2. Задано: В, В, Ом, Ом, Ом, Ом, Ом. Определить токи в ветвях цепи.

Решение.Используя уравнения (5), (6), (7), получаем:

Выразив через и :

=

и произведя соответствующие подстановки, получаем:

100=6,5 -4 ,

-120=-4 -8,5 ,

Совместное решение полученных уравнений дает:

=-5,2A; =-33,5A; =-14,4A.

Определяем токи в ветвях:

= - =-5,2+14,4=9,2А;

= - =-14,4+33,5=19,1А;

= - =-5,2+33,5=28,3;

=- =14,4А; =- =5,2А;

- =33,5А.