Построение кривых линий

В задании строятся коробовые и лекальные кривые линии.

Коробовая линия – выпуклая кривая линия, состоящая из сопряженных дуг окружностей различных радиусов. Наиболее распространенными из них являются овалы.

Лекальные линии – кривые линии, построение которых выполняется по предварительно определенным точкам, например: эллипс, парабола, гипербола.

3.1. Построение овала

Овал представляет собой сопряжение двух дуг одного радиуса с двумя дугами другого радиуса.

Построение овала по двум осям (рисунок 22) выполняется следующим образом:

- проводят осевые линии, на которых симметрично от точки пересечения O откладывают отрезки AB и CD, равные большой и малой осям овала;

- на малой оси откладывают расстояние OE=OA и соединяют точки A и C;

- на отрезке AC откладывают отрезок CF=CE;

- делят отрезок AF пополам (см. п. 2.1.1) и через точку K проводят прямую перпендикулярную AF до пересечения с большой и малой осями овала в точках O₁ и O₂;

- строят зеркальное отображение точек O₁ и O₂ (точки O₃ и O₄);

- из точек O₂ и O₄ радиусом R= O₂C, а из точек O₁ и O₃ радиусом R₁= O₁A проводят дуги до их пересечения с прямыми, проведенными через центры дуг (точки сопряжения). Существуют и другие способы построения овала.

Рисунок 22 – Построе- Рисунок 23 – Построение

ние овала эллипса

3.2. Построение эллипса

Эллипс – замкнутая плоская выпуклая кривая, сумма расстояний каждой точки которой до двух данных точек, называемых фокусами, лежащих на большой оси постоянная, и равна длине большой оси. Построение овала по двум осям (рисунок 23) выполняется следующим образом:

- проводят осевые линии, на которых симметрично от точки пересечения O откладывают отрезки AB и CD, равные большой и малой осям эллипса;

- строят две окружности радиусами равными половине осей эллипса с центром в точке пересечения осей;

- делят окружность на двенадцать равных частей. Деление окружности выполняют как показано в п.2.3;

-.через полученные точки проводят лучи-диаметры;

- из точек пересечения лучей с соответствующими окружностями проводят прямые линии параллельно осям эллипса до их взаимного пересечения в точках лежащих на эллипсе;

- полученные точки соединяют плавной кривой линией при помощи лекал. При построении лекальной кривой линии необходимо выбирать и располагать лекало так, чтобы соединялось как минимум четыре-пять точек.

Существуют и другие способы построения эллипса.

3.3. Построение параболы

Парабола – плоская кривая линия, каждая точка которой равноудалена от директрисы DD₁– прямой, перпендикулярной к оси симметрии параболы, и от фокуса F, точки расположенной на оси симметрии. Расстояние KF между директрисой и фокусом называется параметром параболы p.

На рисунке 24 показан пример вычерчивания параболы по вершине O, оси OK и хорде CD. Построение выполняют следующим образом:

- проводят горизонтальную прямую линию на которой отмечают вершину O и откладывают ось OK.;

- через точку K проводят перпендикуляр на котором симметрично вверх и вниз откладывают длину хорды параболы;

- строят прямоугольник ABCD, в котором одна сторона равна оси, а другая – хорде параболы;

- сторону BC делят на несколько равных частей, а отрезок KC на столько же равных частей;

- из вершины параболы О проводят лучи через точки 1, 2, и т.д., а через точки 1₁, 2₁, и т. д.;

- проводят прямые параллельные оси и определяют точки пересечения лучей с соответствующими параллельными прямыми, например, точку пересечения луча О1 с прямой О1₁, которая принадлежит параболе;

- полученные точки соединяют плавной кривой линией под лекало. Вторая ветвь параболы строится аналогично.

Существуют и другие способы построения параболы.

3.4. Построение гиперболы

Гиперболой называется плоская кривая линии, состоящая из двух разомкнутых, симметрично расположенных ветвей в которых разность расстояний от каждой точки до фокусов. F и F₁ величина постоянная и равна расстоянию между вершинами гиперболы A и B.

На рисунке 25 приведен пример построения гиперболы по заданному расстоянию между вершинами A и B – c, хорде гиперболы – b и ее отстоянию от вершины – a. Построение выполняют следующим образом:

- проводят горизонтальную прямую линию на которой откладывают расстояние между вершинами – точки A и B;

- от точки А откдадывают отстояние хорды от вершины гиперболы (точка О), от которой вверх и вниз симметрично откладывают длину хорды (точки C и D);

- строят прямоугольник KNCD. Сторону прямоугольника KC делят на пять равных частей, а OC на такое же число равных частей;

- соединяют вершину A с точками 1, 2, …, C, а вершину B с точками 1¹, 2¹,…, C.

- определяют точки пересечения луча А1 с лучом А1¹, луча А2 с лучом А2¹ и т. д.

- полученные точки пересечения соединяют плавной кривой линией под лекало.

Остальные ветви гиперболы строят как зеркальное отображение построенной ветви.

Рисунок 24 – Построение Рисунок 25 – Построение ги

параболы перболы