Лекція 3. Найпростіші задачі квантової механіки

1.3.1. Рух вільної частинки.

1.3.2. Частинка в одновимірному потенціальному ящику.

1.3.3. Гармонічний квантовий осцилятор.

1.3.4. Проходження частинки крізь потенціальний бар’єр. Тунельний ефект.

1.3.1. Рух вільної частинки

Найпростішим рухом квантової частинки є вільний рух. Прикладом такого руху є рух електронів в металах і напівпровідниках. В цьому випадку потенціальна енергія частинок дорівнює нулю. При вільному русі повна енергія частинки збігається з кінетичною, а її швидкість є сталою величиною. Такому рухові в класичній механіці відповідає рівномірний і прямолінійний рух.

Нехай рівномірний рух квантової частинки відбувається в напрямі осі х, яка збігається з напрямком вектора швидкості. Стаціонарне рівняння Шредінгера для вільної частинки запишеться:

(1.3.15)

де m ― маса частинки; Е ― повна енергія частинки.

Рівняння (1.3.15) є диференціальним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами, розв’язком якого може бути функція

(1.3.16)

де А і к ― сталі величини; і ― уявна одиниця.

Підстановка (1.3.16) в (1.3.15) дасть тотожність

звідки

(1.3.17)

У співвідношенні (1.3.17) к - хвильове число хвиль де Бройля; Е ― повна енергія частинки; m ― маса частинки.

Енергія вільної частинки з рівності (1.3.17) дорівнює

(1.3.18)

Хвильове число к може набувати довільних значень, тому що вільні частинки в системі можуть мати практично будь-які постійні швидкості. Це говорить про те, що енергетичний спектр вільних частинок є суцільним.

Густина імовірності перебування вільної частинки в довільних точках осі х дорівнює

де - комплексно спряжена хвильова функція. Звідки

Густина імовірності вільної частинки в будь-якій точці осі х є сталою величиною. Невизначеності вільної частинки в координаті в такому випадку дорівнюють безмежності. Цей висновок є добрим підтвердженням співвідношення невизначеностей Гейзенберга.

1.3.2. Частинка в одновимірному потенціальному ящику

Розглянемо приклад просторово-обмеженого одновимірного руху квантової частинки в глибокому потенціальному ящику з вертикальними стінками, шириною l. Потенціальна енергія електрона зовні і всередині такого ящика має наступні значення:

U(x)=0 при 0<x<l, (1.3.19)

U(x)=¥ при x£0 й x³ l .

Графік залежності потенціальної енергії частинки U(x) від х показаний на рис 1.5.

Частинка в такому ящику може вільно рухатись на ділянці 0<х<l. На кінцях цього інтервалу вона стикається з абсолютно твердими стінками. Непрозорість цих стінок визначається необмеженим ростом потенціальної енергії U(x) в точках х=0 і х=l.

Рис. 1.5

Прикладом руху електрона в потенціальному ящику може бути рух колективізованих електронів усередині металу. Як відомо, у класичній електронній теорії вважали, що поза металом потенціальна енергія електрона дорівнює нулю, а всередині металу ― вона від’ємна і чисельно дорівнює роботі виходу електрона з металу. Інакше кажучи, вважали, що рух електронів обмежений потенціальним бар’єром прямокутної форми з плоским дном. У нашому випадку потенціальний ящик значно простішої форми ніж реальний випадок електрона в металі.

Оскільки частинка не виходить за межі ділянки 0 < х < l, то імовірність знайти її за межами цієї ділянки дорівнює нулю. Це означає, що рівняння Шредінгера для стаціонарних станів можна доповнити граничними умовами і

Запишемо рівняння Шредінгера для частинки в потенціальному ящику

(1.3.20)

де m ― маса частинки; ― стала Дірака; Е ― повна енергія частинки; Y(х) ― хвильова функція.

Введемо позначення

(1.3.21)

де к ― хвильове число хвиль де Бройля для електрона, який перебуває всередині потенціального ящика.

Рівняння (1.3.20) набуде вигляду

. (1.3.22)

Знайдемо розв’язок рівняння (1.3.22), подібно до аналогічних диференціальних рівнянь гармонічних коливань, у тригонометричній формі

(1.3.23)

де А, В і С ─ сталі величини.

З граничних умов одержуємо:

а) Y(0)=0; 0=АcosB^.0+CsinB^.0,

звідки А=0; В¹0 і С¹0.

б) Y(l)=0; 0=CsinB^.l,

звідки при С¹0, Вl=np, або де n = 1,2,3,...

Хвильова функція з урахуванням граничних умов набуде вигляду:

(1.3.24)

Константу С у формулі (1.3.24) знайдемо з умови нормування

, (1.3.25)

або

. (1.3.26)

Другий інтеграл у виразі (1.3.26) для будь-яких значень n дорівнює нулю, тому

, звідки

Хвильова функція, яка описує квантовий рух частинки в потенціальному ящику, має вигляд:

(1.3.27)

При підстановці (1.3.27) у (1.3.22) одержуємо тотожність

,

звідки

(1.3.28)

Енергія Е електрона в потенціальному ящику не може бути довільною. Вона набуває лише дискретних власних значень Е(n). Імовірність виявити в межах потенціального ящика електрон з іншою енергією, ніж (1.3.28) дорівнює нулю.

Що ми одержали в результаті розв’язування рівняння Шредінгера? По-перше, набір псі-функцій, які залежать від квантового числа n. По-друге, значення енергії Е, при яких розв’язок рівняння Шредінгера має фізичний зміст. По-третє, розподіл імовірності виявлення частинки в різних точках осі x усередині ящика. Подібні ж результати виходять при розв’язуванні рівняння Шредінгера й в інших випадках, наприклад, для атома водню.

Енергетичний спектр і густина імовірності частинки в потенціальному ящику показана на рис. 1.6.

Рис. 1.6

Число n у формулі (1.3.28) визначає вид хвильової функції й енергію частинки в стані з цією хвильовою функцією і називається квантовим числом. Покажемо, що для частинки в потенціальному ящику можливі лише такі енергетичні рівні, на яких на ширині ящика вкладається лише

ціле число півхвиль де Бройля. При аналізі граничних умов було показано, що kl=np, де ― хвильове число хвиль де Бройля. З урахуванням останнього маємо:

(1.3.29)

Співвідношення (1.3.29) показує, що в потенціальному ящику можливі лише такі стани частинки, при яких на ширині потенціального ящика l вкладається ціле число півхвиль де Бройля (рис. 1.7).

Рис. 1.7

Незбуреному стану частинки (n=1) відповідає енергія

(1.3.30)

Значення цієї енергії Е_l>0 свідчить про те, що частинка в потенціальному ящику ніколи не зупиняється і що невизначеність DР_х імпульсу частинки не може бути меншою за величину

(1.3.31)

В потенціальному ящику шириною l положення частинки визнача-ється похибкою, яка сумірна з його шириною Dх»l, тому

Dх^.DР_х³p , (1.3.32)

що перебуває у повній відповідності із співвідношенням невизначеностей імпульс - координата.

Покажемо, як залежить ширина енергетичного інтервалу DЕ від розмірів потенціального ящика. У потенціальному ящику з розмірами l=10^-9 м власні значення енергії електрона утворюють послідовність енергетичних рівнів, енергетична відстань між якими дорівнює

DE=E_n+1-E_n ,

або

Дж.

В електрон-вольтах ця енергія буде дорівнювати

Цей розрахунок показує, що коли ширина потенціального ящика сумірна з розмірами атома (10^-10м), енергетичний інтервал між сусідніми енергетичними рівнями досить значний, а спектр є дискретним.

У випадку, коли потенціальний ящик має макроскопічні розміри l»10^-2 м, енергетичний інтервал між сусідніми рівнями буде дорівнювати

Дж=0,34^.10^-14(2n+1) eB.

Для такого потенціального ящика квантуванням енергії можна знехтувати. Вона нічим не відрізняються від значень енергії, одержаних класичними методами.

Аналогічні результати можна одержати для великих квантових чисел n. У цьому випадку проявляється принцип відносності, встановлений Бором у 1923 р.

При великих квантових числах висновки й результати квантової механіки збігаються з відповідними класичними результатами.