Пример 2. На основе имеющихся данных (табл

На основе имеющихся данных (табл. 2) о производительности труда (y), фондовооруженности (x₁) и коэффициенте сменности оборудования (x₂) требуется выявить зависимость (y) от двух имеющихся факторов.

Теоретический анализ исходных данных позволяет установить наличие причинно-следственной связи факторных признаков с результативным показателем.

Построим многофакторное уравнение регрессии зависимости производительности труда от фондовооруженности и коэффициента сменности оборудования.

В общем виде уравнение линейной множественной регрессии имеет вид (29): .

Для расчета параметров уравнения запишем систему (30), подставив в нее соответствующие значения (приложение Б):

Решим данную систему методом Гаусса.

~

Полученные значения параметров подставим в уравнение. Таким образом, получаем уравнение следующего вида: .

Анализ коэффициентов уравнения множественной регрессии позволяет сделать вывод о степени влияния каждого из двух факторов на показатель производительности труда. Так, параметр a₁=0,3777 свидетельствует о том, что с увеличением фондовооруженности на 1 тыс. руб. следует ожидать повышение производительности труда на 0,3777 тыс. руб. Повышение коэффициента сменности на единицу может привести к снижению производительности труда на а₂=0,8766 тыс. руб.

Далее целесообразно проверить каждый коэффициент регрессии на значимость. Для этого необходимо рассчитать значения t – критерия Стьюдента по формулам (44)-(46).

Полученные значения t – критерия сравним с критическим значением t. По таблице распределения Стьюдента (приложение А) при уровне значимости a=0,05 и степени свободы u=n-k-1=22 значение t – критерия равно 2,074.

Очевидно, что , а и .

Это говорит о том, что параметры а₁ и а₂ не значимы. Таким образом, фондовооруженность и коэффициент сменности оборудования не оказывают существенного влияния на производительность. Их влияние обусловлено случайностью. Поэтому их следует исключить из модели и заменить более значимыми, но в учебных целях продолжим анализ.

Найдем парные коэффициенты корреляции, используя формулу (20):

Данные коэффициенты характеризуют тесноту связи между двумя из рассматриваемых переменных. Полученные значения говорят, что сила связи между производительностью и фондовооруженностью является слабой.

Теснота связи между производительностью и коэффициентами сменности оборудования практически отсутствует.

Далее необходимо оценить значимость коэффициентов парной корреляции по t – критерию Стьюдента.

Полученные значения t – критерия сопоставим с t_табл.= 2,074. Видим, что t_расч.1, t_расч.2, t_расч.3<t_табл. Таким образом, коэффициенты парной корреляции являются незначимыми. Следовательно, теснота связи между производительностью и фондовооруженностью, производительностью и коэффициентом сменности оборудования, а также между фондовооруженностью и коэффициентом сменности оборудования не является закономерной, она обусловлена случайностью.

На основании парных коэффициентов корреляции, используя формулы (37), (38), рассчитаем частные коэффициенты корреляции:

Видим, что связь фондовооруженности с производительностью, а также коэффициента сменности оборудования с производительностью, при условии комплексного взаимодействия факторов также слабая или практически отсутствует.

Для выявления тесноты связи производительности с обоими факторами одновременно вычислим по формуле (40) совокупный коэффициент множественной корреляции:

.

Связь является умеренной. Совокупный коэффициент множественной детерминации R²=0,12, показывает, что вариация производительности труда на 12% обуславливается фондовооруженностью и коэффициентом сменности оборудования. Значит, выбранные факторы несущественно влияют на показатель производительности труда.

Проверим значимость множественного коэффициента корреляции:

.

По табл. распределения Стьюдента для уровня значимости α=0,05 и при υ=n-k-1=22 значение t_табл=2,074.

Т.к. t_расч<t_табл, следовательно, найденное значение обусловлено только случайными колебаниями.

Далее используем F – критерий Фишера - Снедекора для того, чтобы оценить модель в целом.

.

Сравнивая полученное значение с табличным, видим, что F_расч.<F_табл._. Следовательно, в целом, модель незначима.

Таким образом, модель признается полностью неадекватной и на ее основе нельзя принимать решения и осуществлять прогнозы.

Далее дадим экономическую интерпретацию уравнению множественной регрессии.

Т.к. на основе коэффициентов регрессии нельзя сказать, какой из факторных признаков оказывает наибольшее влияние на результативный признак, т.к. коэффициенты регрессии между собой не сопоставимы, поскольку они измерены разными единицами. Чтобы иметь возможность судить о сравнительной силе влияния отдельных факторов и о тех резервах, которые в них заложены, должны быть вычислены частные коэффициенты эластичности Э_i, а также бета-коэффициенты β_i.

Рассчитаем частные коэффициенты эластичности по формуле (48):

Таким образом, при изменении фондовооруженности на 1% производительность труда изменяется на 0,29%, при условии, что коэффициент сменности оборудования остается в фиксированном положении.

А при изменении коэффициента сменности оборудования на 1%, при фиксированном положении фондоворуженности, производительность изменяется, а точнее уменьшается на 0,15%.

Рассчитаем b - коэффициенты:

Анализ b - коэффициентов показывает, что на производительность труда наибольшее влияние из двух исследуемых факторов с учетом уровня их колеблемости способен оказать фактор х₁ – фондовооруженность, т.к. ему соответствует наибольшее (по абсолютной величине) значение b - коэффициента. Следовательно, при изменении на одно среднеквадратическое отклонение фондовооруженности производительность труда изменится на 0,33 своего среднеквадратического отклонения, далее по степени влияния следует фактор x₂ – коэффициент сменности оборудования (b₂=-0,06).

На последнем этапе рассчитаем D - коэффициенты:

Таким образом, доля влияния фондовооруженности в суммарном влиянии факторов, включенных в уравнение регрессии, составляет 0,94. Доля коэффициента сменности оборудования составляет 0,05. Очевидно, что доля влияния фактора х₁ больше, чем фактора х₂.

Промежуточные расчеты приведены в приложении Б.