Интегрирование по частям. Если функции u = j(x) и v = y(x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные

Если функции u = j(x) и v = y(x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла, который был весьма подробно рассмотрен выше, поэтому здесь приводить его нет смысла.

Несобственные интегралы

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, ¥). Тогда она непрерывна на любом отрезке [a, b].

Определение: Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a, ¥).

Обозначение:

Если этот предел существуетиконечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.

Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида:

Конечно, эти утверждения справедливы, если входящие в них интегралы существуют.

Пример.

- не существует.

Несобственный интеграл расходится.

Пример.

- интеграл сходится

Теорема: Если для всех х (x ³ a) выполняется условие и интеграл сходится, то тоже сходится и ³ .

Теорема: Если для всех х (x ³ a) выполняется условие и интеграл расходится, то тоже расходится.

Теорема: Если сходится, то сходится и интеграл .

В этом случае интеграл называется абсолютно сходящимся.