АЯ И 2АЯ ЭКВАТОРИАЛЬНАЯ СИС-МА КООРДИНАТ.

Первая экваториальная система координат.Основным направлением в этой системе является ось мира PnPs, а основными кругами — экватор и меридиан наблюдателя. Положение точки на сфере определяется двумя координатами: склонением и часовым углом (рис. 5).

Склонением δ светиланазывается дуга меридиана светила от небесного экватора до места светила. Угол δ при центре сферы, равный этой дуге, также называют склонением (его измеряют в обсерваториях). Склонения счи­таются от 0 до 90° к N или S, например на рис. 5 для светил С₁ и С₂ имеем 6₁ = 33° N, б₂ = 26° S.

Примечание. В мореходной астрономии принято склонению придавать знак «-+-», если оно одноименно с широтой, и знак «—», если разноименно. В обсерваторной и геодезической астрономии, а также в электронных цифровых вычислительных маши­нах (ЭЦВМ) знак «+» придается северному склонению (и широте), знак «—» — южно­му.

Часовым углом tназывается дуга экватора от полуденной части меридиа­на наблюдателя до меридиана светила, считаемая в сторону точки W от О до 360°. В таком счете часовой угол называют вестовым или обыкновенным и наименования обычно не приписывают. Кроме этого, применяется полу кру­говой счет часовых углов: от 0 до 180° к W или O^st-y, который называют иногда практическим, так как он применяется при решении треугольников и в таблицах. Из рис. 5 видно, что t_Qst = 360° — t_w при tw > 180°. Для све­тила С₁ имеем t = 245° W или t — 115° О¹. Дуга экватора ED измеряет центральный угол t или сферический угол при полюсе t, которые также на­зывают часовыми углами.

Место светила С₁ на сфере запишется теперь так: t = 245°; δ = 33° N. Одна экваториальная координата определяет на сфере положение одного круга: часовой угол — положение меридиана светила; склонение — парал­лели.

Полярные координаты. Положение точки можно определить при полю­се мира — в полярных координатах t и Д. Часовой угол / определяется как угол при повышенном полюсе в полукруговом счете (на рис. 5 t = 115° O^st).

Полярным расстоянием ∆ называется дуга меридиана светила от повы­шенного полюса до места светила, считаемая от 0 до 180°, например для светила С₁ ∆ = 57°, С₂ ∆ = 116°. Очевидно, что ∆ = 90° — б. По определе­нию часовой угол отсчитывается от плоскости географического меридиана места, поэтому на рис. 5 и аналогичных всегда изображается местный часо­вой угол. Для других меридианов часовые углы другие.

Вторая экваториальная система координат. В этой системе при той же оси мира основными кругами являются небесный экватор и меридиан точки Овна (γ). Точка Овна, или точка весеннего равноденствия, расположена в пересечении экватора с эклиптикой, т. е. связана с орбитой Земли. Поло­жение светила в этой системе определяется склонением и прямым восхож­дением (рис. 6). Склонение б в этой системе аналогично первой экваториаль­ной системе.

Прямым восхождением а светила называется дуга экватора от точки Овна до меридиана светила, считаемая в сторону, обратную W-м часовым углам (т. е. в сторону O^st) от 0 до 360°. Дуге а соответствуют при центре сферы и при полюсе углы а, также называемые прямым восхождением. На­пример, для светила С₁ а =95°; б = 35° N. Вместо α в современных морских пособиях применяется звездное дополнение: т = 360° — а.

Звездным дополнением τ называют дугу экватора от точки Овна до ме­ридиана светила, но считаемую в сторону W-x часовых углов, например для светила С₁ имеем τ = 265°. В отечественных пособиях τ применяется только для звезд, отсюда и его название. Направление счета а — прямого восхож­дения — совпадает с вращением Земли и ее обращением по орбите, отсюда и название координаты.

Полярные координаты. В этом случае прямое восхождение (или τ) счи­тается как угол при полюсе между меридианами точки Овна и светила, а по­лярное расстояние ∆ аналогично первой системе координат (см. рис. 6). Эта система координат аналогична географическим: а — с λ; б — с φ.

Первая и вторая экваториальные системы отличаются только положе­нием начального меридиана t считается от точки Е, а α— от точки Овна t^r, положение же точки Овна определяется ее часовым углом t^γw, поэтому (рис. 6) имеем t^γ = t + α, (2)

т. е. часовой угол точки Овна (звездное время) равен сумме часового угла и прямого восхождения светила. По этой формуле (в § 23 она названа основ­ной формулой времени) можно перейти от одной системы к другой.

№3 Параллактический треугольник.

Построив сферу для наблюдателя в данной широте и проведя меридиан и вертикал светила С, получим сфери­ческий треугольник PzC, в который входят координаты основных систем и географические координаты места (рис. 11).

Параллактическим треугольником светиланазывается сферический треугольник PzC, имеющий вершины в повышенном полюсе, зените и месте светила и связывающий между собой основные системы сферических коор­динат. Напомним, что в северной широте повышенный полюс —Р_N, в южной— P_S. Элементами этого треугольника, т. е. его сторонами и углами, являются: сторона zP — дуга меридиана наблюдателя, равная 90° —φ; сторона PC —-дуга меридиана светила, равная 90° — δ; сторона zC — дуга вертикала све­тила, равная 90°— h; угол при зените, равный азимуту светила в полукру­говом счете; угол при повышенном полюсе, равный часовому углу в практи­ческом (полукруговом) счете; угол при светиле q — параллактический угол, также в полукруговом счете. Как видим, в треугольник входят полярные ко­ординаты, поэтому его иногда называют полярным треугольником светила.

Формулы, связывающие три данных элемента и один искомый элемент сферического треугольника, называются основными (см. приложение 2). В них углы и стороны должны быть меньше 180°*. В параллактическом тре­угольнике это достигается использованием полукругового счета t, А и q, стороны же всегда меньше 180°. Следовательно, параллактический треуголь­ник можно решать по основным формулам сферической тригонометрии.

Особое значение параллактического треугольника, отличающее его от других, заключается в том, что он связывает сферические координаты свети­ла с географическими координатами места наблюдателя. Широта входит в сторону zP, а долгота — в угол t; это всегда местный часовой угол t_м, а по формуле (3) tм = t_гр — λw Поэтому, ре­шая параллактический треугольник, по известным координатам светил можно определить координаты места.

Решение параллактического тре­угольника по основным формулам. Для решения или для построения треуголь­ника РгС должны быть известны три его элемента. Тогда по основным фор­мулам можно определить остальные его элементы в общем виде, а затем с по­мощью таблиц функций вычислить эти элементы с нужной точностью.

Треугольник может быть косоуголь­ным при произвольном значении его эле­ментов, прямоугольным, если один или несколько его углов прямые, или четвертным при стороне, равной 90°. Во всех случаях будут справедливы основные формулы, хотя есть и частные формулы и правила для каждого случая. Рекомендуется применять четыре основные формулы сферической тригонометрии, которые следует знать наизусть (см. приложение 2); нужно выучить также формулу пяти элементов,ПРИМЕН В ВЫВОДАХ.

Общий порядок решения параллактического треугольника следующий:

сделать чертеж треугольника, пометить данные и искомые величины;

подобрать формулы для получения искомых величин, как правило, че­рез данные и привести их к простейшему виду;

исследовать формулы на знаки функций (по тригонометрическим чет­вертям) при данных значениях аргументов; составить простейшие схемы вычислений;

произвести вычисления по таблицам логарифмов или натуральных зна­чений тригонометрических функций;

приписать искомым наименования; произвести контроль вычислений.

Переход от экваториальных координат к горизонтным. Положим, что в треугольнике zPC (см. рис. 11) заданы φ, б и t, требуется определить высоту и азимут. Отметим в параллактическом треугольнике заданные эле­менты крестиком (X), а искомые — знаком вопроса (?).

Для получения h применим формулу, связывающую три стороны и угол треугольника, т. е. формулу косинуса стороны (см. приложение 2) к сторо­не zC:

cos (90° — h) == cos (90° —φ) cos (90⁹ — δ) + sin (90^Q —φ)sin (90^Q —6) cos t. После упрощений получим

sin h = sin φ sin б - cos φ cos δ cos t.

Для получения азимута через заданные величины φ, S, t применим фор­мулу для четырех рядом лежащих элементов,

т. е. формулу котангенсов (см. приложение 2), к углу А:

ctg A sin t = ctg (90° — 6)sin (90° — φ) — cos t cos (90^Q — φ), или после упрощений и отделения неизвестного получим

ctg A = tg б cos φ cosec t — sin φ ctg t.

Исследование формул на знаки. Исследование производится определе­нием знака тригонометрической функции при данной величине и знаке коор­динаты с последующим перемножением знаков. Исследование выполняется, чтобы определить: будет ли в правой части двучленной формулы сумма чле­нов (т. е. +1 + II; —I — II) или их разность (например, —I + II); знак искомой функции, а по нему тригонометрическую четверть или знак иско­мой координаты.

Правила исследования формул на знаки:

1. Широта всегда меньше 90° и считается положительной независимо от наименования (N или S), поэтому все ее функции имеют знак «+»

2. Склонение всегда меньше 90°, но может иметь знак «+», если оно одноименно с φ, и знак «—», если разноименно с φ (знак «—» означает четвертую тригонометрическую четверть). Если б одноименно с φ, все функ­ции б имеют знак «+»; если же б разноименно с φ, то cos б и sec б имеют знак «+». остальные функции — знак «—».

3. Высота всегда меньше 90°, но может иметь знак «+» или «—». Если знак высоты «+», то все ее функции положительны, если же знак «—», то cos h и sec h имеют знак «+»; остальные функции — «—».

4. Часовой угол вводится в треугольник всегда меньшим 180° (O^st или W). Если t<Z 90°, т. е. в первой тригонометрической четверти, то все его функции имеют знак «+». Если же t > 90°, т. е. во второй четверти, то
sin t и cosec t имеют знак «+», остальные функции— «—».

5. Азимут в треугольнике всегда в полукруговом счете, т. е. А может быть в первой и второй четвертях. Поэтому независимо от его наименования, если А < 90°, все его функции имеют знак «+»; если же А > 90°, то sin A и cosec А имеют знак «+», остальные функции — «—».

6. Параллактический угол имеет величину от 0 до 180°, и знаки его функций определяются аналогично А и t.

Эти же правила применяются и при определении знака или величины искомой координаты.

Треугольники со сторонами, меньшими 180°, называются эйлеровыми. Возмож­ны сферические треугольники с элементами от 0 до 360° (Мебиуса). В них при тех же формулах правила счета и знаков другие