Уравнение Шредингера. Волновая функция

Состояние микрочастицы в квантовой механике характеризуется так называемой волновой функцией, обозначаемой буквой Y (пси). Вид этой функции получается из решения уравнения Шредингера, которое выглядит следующим образом:

. (26)

Здесь m - масса частицы, U – ее потенциальная энергия, i – мнимая единица,

D – оператор Лапласа, Y = Y(x,y,z,t) – функция координат и времени.

. (27)

Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, т.е. U не зависит явно от времени, то уравнение (26) переходит в более простое уравнение Шредингера для стационарных состояний:

. (28)

Здесь Y = Y(x,y,z) – функция координат.

Решения данного уравнения и рассматривает квантовая механика.

Правильную интерпретацию смысла волновой функции дал М. Борн в 1926 г. Согласно Борну квадрат модуля волновой функции дает плотность вероятности нахождения частицы в соответствующем месте пространства.

. (29)

В соответствии с этим для волновой функции должно выполняться условие нормировки

. (30)

В соответствии со своим смыслом волновая функция должна быть однозначной, конечной, непрерывной и иметь непрерывную и конечную производную. Совокупность этих требований носит название стандартных условий.

Уравнение Шредингера имеет решения, удовлетворяющие стандартным условиям, лишь при некоторых избранных значениях параметра Е (т.е. энергии). Эти избранные значения называются собственными значениями энергии. Решения, соответствующие собственным значениям Е, называются собственными функциями частицы. Совокупность собственных значений называется энергетическим спектром. Он может быть дискретным или сплошным. В случае дискретного спектра собственные значения и собственные функции можно пронумеровать:

E₁, E₂, ... E_n, ...; (31)

Y₁, Y₂, ... Y_n, ... .

Нахождение собственных значений энергии и собственных функций частиц является основной задачей квантовой механики.