Какой вид имеет линейное реккурентное уравнение n-го порядка

Пусть заданы числа и . Уравнение

называется линейным однородным разностным (или возвратным) уравнением -го порядка (над множеством ). Пусть числа заданы. Тогда уравнение определяет линейную рекуррентную¹⁾(или возвратную) последовательность -го порядка: начиная с , каждый элемент этой последовательности определяется через предшествующих.

Пример. Уравнение первого порядка определяет — при задании — геометрическую прогрессию.

Пример. Уравнение второго порядка

определяет при последовательность чисел Фибоначчи — они обозначаются буквой

42.Что такое общее и частное решения линейного однородного реккурентного уравнения 2-го порядка?

43. Какой вид имеет общее решение линейного однородного реккурентного уравнения в случае различных характеристических корней?

44. Какой вид имеет общее решение линейного однородного реккурентного уравнения 2-го порядка в случае одинаковых характеристических корней?

45. В каких случаях и каким образом можно найти частное решение линейного неоднородного реккурентного уравнения (по виду правой части)?

46. Что вы знаете о числах Фибоначчи?

Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности

в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Названы в честь средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи)^[1]. Иногда число 0 не рассматривается как член последовательности.

Более формально, последовательность чисел Фибоначчи задается линейным рекуррентным соотношением:

На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что: изначально есть новорожденная пара кроликов (самец и самка), со второго месяца после своего рождения кролики начинают спариваться и каждый месяц производить новую пару кроликов, кролики никогда не умирают. Сколько пар кроликов будет через год?

· В начале первого месяца есть только одна новорожденная пара (1).

· В конце первого месяца по-прежнему только одна пара кроликов, но уже спарившаяся (1)

· В конце второго месяца первая пара рождает новую пару и опять спаривается (2)

· В конце третьего месяца первая пара рождает еще одну новую пару и спаривается, вторая пара только спаривается (3)

· В конце четвертого месяца первая пара рождает еще одну новую пару и спаривается, вторая пара рождает новую пару и спаривается, третья пара только спаривается (5)

В конце -го месяца количество пар кроликов будет равно количеству пар в предыдущем месяце плюс количество новорожденных пар, которых будет столько же, сколько пар было два месяца назад. Таким образом:

· Последовательность чисел Фибоначчи является частным случаем возвратной последовательности, её характеристический многочлен имеет корни и .