Абсолютные показатели вариации

Абсолютные показатели вариации непосредственно характеризуют изменчивость исследуемой совокупности, тогда как относительные показатели вариацииявляются результатом сопоставления абсолютных.

В состав абсолютных показателей вариации включаются:

1.Размах вариации (R). Он отражает пределы изменчивости признака или, другими словами, амплитуду вариации. Размах вариации рассчитывается как разность между максимальной величиной признака (Хmax) и минимальной величиной признака (Хmin), т.е. по формуле:

R= Хmax- Хmin

Размах вариации всегда выражается в единицах измерения того признака, степень колеблемости которого он отражает.

2.Среднее линейное отклонение (L ) – величина, отражающая среднее отклонение от среднего значения в совокупности. Другими словами, среднее линейное отклонение показывает диапазон, в котором лежит основная масса значений признака вокруг средней величины. Поскольку сумма отклонений от средней величины равна нулю, то для расчета среднего линейного отклонения применяется модуль. Если при изучении признака не учитываются другие факторы, то среднее линейное отклонение рассчитывается как:

L=|Xi-X|/n

Хi – индивидуальные значения исследуемого признака;

Х– среднее значение исследуемого признака;

n – число единиц в совокупности.

Если в исследовании принимается во внимание признак-вес, то среднее линейное отклонение рассчитывается как:

L=|Xi-X|*f/Sf

Хi – индивидуальные значения исследуемого признака;

Х – среднее значение исследуемого признака;

f – индивидуальные значения признака-фактора;

Sf– суммарная величина признака-фактора.

Среднее линейное отклонение имеет такие же единицы измерения, как индивидуальные значения признака.

Чем больше значение среднего линейного отклонения по сравнению с величиной среднего значения совокупности, тем больше диапазон, в котором сосредоточена основная масса отдельных значений исследуемого признака. То есть, отдельные единицы совокупности имеют большой разброс вокруг среднего значения, и совокупность неоднородна.

3.Применение модуля при расчете среднего линейного отклонения накладывает ряд ограничений на дальнейшие математические действия с данной величиной. Поэтому на практике, как правило, применяется среднее квадратическое отклонение (s), рассчитываемое как корень квадратный из дисперсии (s²). Формулы этих показателей имеют следующий вид:

s²=S(Х_i-Х_.)²/n – простая,

s²==S(Х_i-Х)²*f/Sf – взвешенная

Расчет дисперсии имеет особое значение для анализа совокупности, поскольку все отклонения от среднего значения усиливаются возведением в квадрат. Поэтому чем менее однородна совокупность, тем большее значение будет иметь дисперсия.

Иногда в совокупности целесообразно выделить несколько групп и внутри каждой из них определить вариативность признака. Как правило, группировка совокупности производится по отдельному признаку, влияющему на изучаемый признак-результат, т.е. по признаку-фактору. Иногда в результате группировки даже визуально можно увидеть некоторую закономерность в изменчивости признаков. Например, чем больше значение признака, положенного в основу группировки, тем больше значение исследуемого признака. Однако такая зависимость не всегда очевидна. Поэтому, чтобы выявить степень влияния признака-фактора на признак-результат рассчитывают несколько видов дисперсий: общую, межгрупповую и внутригрупповые.

Общая дисперсия (s²общ) рассчитывается способами, приведенными выше, т.е.:

- либо как средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от средней величины (для невзвешенной и взвешенной дисперсий соответственно):

- либо как разность квадратов (для невзвешенной и взвешенной дисперсий соответственно):

Общая дисперсия отражает изменчивость признака под влиянием всех факторов, как учтенных, так и не учтенных в исследовании.

Межгрупповая дисперсия (d²) рассчитывается как отклонение средних значений, рассчитанных в каждой группе, от общей средней (для невзвешенной и взвешенной дисперсий соответственно):

Межгрупповая дисперсия выражает изменчивость изучаемого признака только под влиянием признака-фактора. В литературе межгрупповую дисперсию называют еще факторной дисперсией. Такое называние отражает суть данного вида дисперсии, тогда как термин «межгрупповая» отображает форму расчета.

Внутригрупповая дисперсия (si²) рассчитывается как отклонение индивидуальных значений от среднего по группе значения признака-результата (для невзвешенной и взвешенной дисперсий соответственно):

Внутригрупповая дисперсия отражает изменчивость признака-результата под влиянием всех других, неучтенных в исследовании признаков (исключая влияние признака-фактора). Действительно, совокупность распределена на группы по признаку-фактору, т.е. внутри группы на вариацию изучаемого признака оказывают влияние уже другие факторы. Данный вид дисперсии в литературе называет еще остаточной дисперсией. Такое называние отражает суть, тогда как термин «внутригрупповая» отображает форму расчета этого вида дисперсии.

В результате расчета внутригрупповых дисперсий получается несколько дисперсий, имеющие различные значения вариации признака-результата в различных группах. Чтобы получить единую величину, отражающую изменчивость результативного признака под влиянием неучтенных признаков, рассчитывают среднее значение из внутригрупповых дисперсий(si²):

Все три вида дисперсии взаимосвязаны между собой по правилу сложения дисперсий.

s² _общ.=si²+d²

На практике правило сложения дисперсий применяется в качестве проверки правильности определения видов дисперсий. Кроме того, имея значения каких-либо двух видов дисперсий, можно определить третий.