Стационарные точки функции. Необходимое условие локального экстремума функции

Лекция 13. Необходимое и достаточные условия локального экстремума функции

План

Стационарные точки функции. Необходимое условие локального экстремума функции

Первое достаточное условие локального экстремума

Второе и третье достаточные условия локального экстремума

Наименьшее и наибольшее значения функции на сегменте

Выпуклые функции и точки перегиба

Стационарные точки функции. Необходимое условие локального экстремума функции

Определение 1. Пусть функция определена на . Точка называется стационарной точкой функции , если дифференцирована в точке и .

Теорема 1 (необходимое условие локального экстремума функции). Пусть функция определена на и имеет в точке локальный экстремум. Тогда выполняется одно из условий:

1. функция не имеет в точке производной;

2. функция имеет в точке производную и .

Таким образом, для того, чтобы найти точки, которые являются подозрительными на экстремум, надо найти стационарные точки функции и точки, в которых производная функции не существует, но которые принадлежат области определения функции.

Пример. Пусть . Найти для нее точки, которые являются подозрительными на экстремум. Для решения поставленной задачи, в первую очередь, найдем область определения функции: . Найдем теперь производную функции:

.

Точки, в которых производная не существует: . Стационарные точки функции:

.

Поскольку и , и принадлежат области определения функции, то они обе будут подозрительными на экстремум. Но для того, чтобы сделать вывод, будет ли там действительно экстремум, надо применять достаточные условия экстремума.