Свойства определенного интеграла

1. Пусть функция интегрируема по Риману на сегменте (тогда она обязательно будет ограниченной на этом сегменте). Если изменить значение функции в конечном количестве точек, то получим интегрируемую по Риману функцию , к тому же

.

Доказательство. Возьмем любое разбиение сегмента :

.

Построим интегральные суммы для функций и , которые отвечают разбиению :

,

точки берем произвольно на частичных сегментах , но одинаковыми для обеих функций и . Интегральные суммы могут отличаться одна от другой лишь на конечное количество слагаемых ( только тогда, когда точка - это та точка, в которой было изменено значение функции , а таких точек лишь конечное количество). Каждое из слагаемых в интегральных суммах стремится к 0, когда , а потому будут стремиться к нулю и те слагаемые (их конечное количество), которыми отличаются . Поскольку по условию функция интегрируема по Риману на сегменте , это по определению существует

.

Поскольку из вышесказанного вытекает, что

,

т.е., благодаря существованию предела функция также буде интегрируемой по Риману, а благодаря равенству пределов получим, что

.

Задание. Пусть функция на за исключением конечной совокупности точек, где функция принимает значение 1. Будет ли интегрируема по Риману на ? Если она интегрируема по Риману, то чему равен ее интеграл? Ответ объяснить.

2. Пусть функция интегрируема по Риману на сегменте , а . Тогда интегрируема по Риману на сегменте .

Доказательство. Поскольку интегрируема по Риману на сегменте , то по критерию Лебега мера Лебега точек розрыва на этом сегменте равняется 0. На сегменте их не может быть больше, чем на , поэтому мера Лебега точек разрыва на тоже равняется 0, а потому интегрируема по Риману на сегменте .

3. Пусть функция интегрируема по Риману на сегменте , тогда также интегрируема по Риману на сегменте , к тому же

.

Доказательство. Поскольку интегрируема по Риману на сегменте , то по критерию Лебега мера Лебега точек розрыва на этом сегменте равняется 0. Функция не может иметь разрывов больше, чем . Примеры построения графика функции с использованием графика приведены на рис.1 (для получения графика та часть графика , которая находится в нижней координатной полуплоскости, отображается симметрично относительно оси ОХ) (черным цветом нарисован график данной функции , красным - части графика , которые изменяются относительно графика ).

Рис.1.

Задание. Посмотрите внимательно, какие изменения произошли (или не произошли) в точках разрыва функций на рис.1.

Поскольку количество точек разрыва для функции относительно не возрастает, то мера Лебега множества точек разрыва также будет равняться 0, а потому функция будет интегрируемой по Риману.

По свойствам модуля имеем: для

. (10)

Умножим неравенство (10) на (поскольку , знаки неравенства не изменятся) :

. (11)

Неравенство (11) может быть получено для каждого частичного сегмента , где . Сложим эти неравенства. Получим:

. (12)

Средняя часть неравенства (12) - это интегральная сумма для функции , левая и права части (12) - это и соответственно, где - интегральная сумма для . Таким образом, неравенство (12) можно записать в виде:

. (13)

Переходя в неравенстве (13) к пределу, когда , учитывая, что функции и интегрируемы по Риману и определение интеграла Римана, получаем:

,

откуда, пользуясь функцией модуля:

.

4. Пусть функция интегрируема по Риману на сегменте и , тогда

.

Определение 1. Пусть и функция определена и интегрируема по Риману на сегменте , тогда

.

Определение 2. Для

.

5. (Аддитивность интеграла Римана).

При любом взаимном расположении точек имеет место равенство:

.

Доказательство. Рассмотрим какое-то конкретное взаимное расположение точек , например, . Тогда по свойству 4, учитывая, что именно точка находится между , имеем:

,

т.е.

.

Перенося из правой части последнего равенства слагаемое влево с противоположным знаком, получим:

.

6. (Линейность интеграла).

Пусть функции интегрируемы по Риману на сегменте и пусть , тогда функции , также являются интегрируемыми по Риману на , и выполняются равенства:

,

.

7. Пусть функции интегрируемы по Риману на сегменте . Тогда также интегрируемы по Риману на сегменте .

8. Пусть функции интегрируемы по Риману на сегменте и для . Тогда

.

Задание. Показать, что если определена и на сегменте , то

.

Завдание. Пусть определена на сегменте , на сегменте и . Можно ли тогда утверждать, что в каждой точке сегмента ? Почему?

9. (Первая теорема о среднем)

Пусть функция определена и интегрируема по Риману на сегменте , а , (поскольку по условию функция интегрируема по Риману на сегменте , то по необходимому условию интегрируемости, эта функция обязательно ограничена на сегменте , а потому у нее существуют инфимум и супремум). Тогда

.

Доказательство. Пусть - произвольное разбиение сегмента , . Тогда

( для

.

Сумма является интегральной суммой для функции , а , тогда последняя формула может быть записана в виде:

. (14)

Если в формуле (14) перейти к пределу, когда , то, учитывая, что - это постоянные, а потому

,

а также, учитывая, что функция интегрируема по Риману на сегменте , получаем, что

.

Следствие. Пусть функция определена и интегрируема по Риману на сегменте , а и определены више. Тогда такое, что

.

Геометрически это будет означать следующее: если функция определена и интегрируема по Риману на сегменте , то найдется такое число , что площадь криволинейной трапеции (на рис.1 эта площадь заштрихована черным цветом), которая ограничена графиком функции , осью ОХ и прямыми , будет численно равняться площади прямоугольника (на рис.1 эта площадь заштрихована красным цветом), стороны которого имеют длины (это отрезок ) и (див. рис.2).

Пример. Оценить значение интеграла

,

не вычисляя его.

Для данного интеграла . Для его оценки воспользуемся первой теоремой о среднем. Для этого нам нужно найти инфимум и супремум функции на сегменте :

.

Таким образом, , . Тогда

.

Задание. Не вычисляя непосредственно, оценить значение интеграла .

10. (Обобщенная теорема о среднем)

Пусть функции интегрируемы по Риману на сегменте и выполняются условия:

а) для ;

б) или для .

Тогда такая, что

. (15)

Доказательство. Предположим сначала, что для . По первому условию

.

Учитывая, что , умножим последнее неравенство на , оставивши знаки неравенства неизменными:

. (16)

Поскольку интегрируемы по Риману на сегменте , то по свойству 7, также интегрируема по Риману на сегменте . Тогда, учитывая свойство 8, проинтегрируем неравенство (16) по Риману на :

. (17)

Учитывая свойство 6, вынесем постоянные множители за знак интеграла, тогда (17) будет иметь вид:

. (18)

Поскольку по предположению , то и , то есть возможны два варианта:

1. ; 2. .

Рассмотрим первый вариант. Если , то (18) будет иметь вид:

,

а это возможно только тогда, когда .Тогда

и как можно взять любую постоянную, то есть в этом случае теорема имеет место.

Рассмотрим второй вариант. Поскольку , то можно поделить почленно неравенство (18) на и при этом знаки неравенства останутся неизменными:

. (19)

Если через обозначить

, (20)

то из (19) , а из (20)

,

т.е. найденная постоянная удовлетворяет всем требованиям.

Пусть теперь , тогда и для такой функция теорема уже доказана, то есть такое, что

.

Пользуясь линейностью интеграла Римана, вынесем -1 (постоянный множитель) за знак интеграла:

,

Умножим обе части полученного равенства на -1:

,

то есть теорема доказана и для случая, когда .