КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Свойства определенного интеграла1. Пусть функция интегрируема по Риману на сегменте (тогда она обязательно будет ограниченной на этом сегменте). Если изменить значение функции в конечном количестве точек, то получим интегрируемую по Риману функцию , к тому же
.
Доказательство. Возьмем любое разбиение сегмента :
.
Построим интегральные суммы для функций и , которые отвечают разбиению :
,
точки берем произвольно на частичных сегментах , но одинаковыми для обеих функций и . Интегральные суммы могут отличаться одна от другой лишь на конечное количество слагаемых ( только тогда, когда точка - это та точка, в которой было изменено значение функции , а таких точек лишь конечное количество). Каждое из слагаемых в интегральных суммах стремится к 0, когда , а потому будут стремиться к нулю и те слагаемые (их конечное количество), которыми отличаются . Поскольку по условию функция интегрируема по Риману на сегменте , это по определению существует
.
Поскольку из вышесказанного вытекает, что
,
т.е., благодаря существованию предела функция также буде интегрируемой по Риману, а благодаря равенству пределов получим, что
.
Задание. Пусть функция на за исключением конечной совокупности точек, где функция принимает значение 1. Будет ли интегрируема по Риману на ? Если она интегрируема по Риману, то чему равен ее интеграл? Ответ объяснить.
2. Пусть функция интегрируема по Риману на сегменте , а . Тогда интегрируема по Риману на сегменте . Доказательство. Поскольку интегрируема по Риману на сегменте , то по критерию Лебега мера Лебега точек розрыва на этом сегменте равняется 0. На сегменте их не может быть больше, чем на , поэтому мера Лебега точек разрыва на тоже равняется 0, а потому интегрируема по Риману на сегменте . 3. Пусть функция интегрируема по Риману на сегменте , тогда также интегрируема по Риману на сегменте , к тому же
.
Доказательство. Поскольку интегрируема по Риману на сегменте , то по критерию Лебега мера Лебега точек розрыва на этом сегменте равняется 0. Функция не может иметь разрывов больше, чем . Примеры построения графика функции с использованием графика приведены на рис.1 (для получения графика та часть графика , которая находится в нижней координатной полуплоскости, отображается симметрично относительно оси ОХ) (черным цветом нарисован график данной функции , красным - части графика , которые изменяются относительно графика ).
Рис.1. Задание. Посмотрите внимательно, какие изменения произошли (или не произошли) в точках разрыва функций на рис.1. Поскольку количество точек разрыва для функции относительно не возрастает, то мера Лебега множества точек разрыва также будет равняться 0, а потому функция будет интегрируемой по Риману. По свойствам модуля имеем: для
. (10)
Умножим неравенство (10) на (поскольку , знаки неравенства не изменятся) :
. (11)
Неравенство (11) может быть получено для каждого частичного сегмента , где . Сложим эти неравенства. Получим:
. (12)
Средняя часть неравенства (12) - это интегральная сумма для функции , левая и права части (12) - это и соответственно, где - интегральная сумма для . Таким образом, неравенство (12) можно записать в виде:
. (13)
Переходя в неравенстве (13) к пределу, когда , учитывая, что функции и интегрируемы по Риману и определение интеграла Римана, получаем:
,
откуда, пользуясь функцией модуля:
.
4. Пусть функция интегрируема по Риману на сегменте и , тогда .
Определение 1. Пусть и функция определена и интегрируема по Риману на сегменте , тогда .
Определение 2. Для . 5. (Аддитивность интеграла Римана). При любом взаимном расположении точек имеет место равенство:
.
Доказательство. Рассмотрим какое-то конкретное взаимное расположение точек , например, . Тогда по свойству 4, учитывая, что именно точка находится между , имеем:
,
т.е. .
Перенося из правой части последнего равенства слагаемое влево с противоположным знаком, получим: .
6. (Линейность интеграла). Пусть функции интегрируемы по Риману на сегменте и пусть , тогда функции , также являются интегрируемыми по Риману на , и выполняются равенства: ,
.
7. Пусть функции интегрируемы по Риману на сегменте . Тогда также интегрируемы по Риману на сегменте . 8. Пусть функции интегрируемы по Риману на сегменте и для . Тогда .
Задание. Показать, что если определена и на сегменте , то
.
Завдание. Пусть определена на сегменте , на сегменте и . Можно ли тогда утверждать, что в каждой точке сегмента ? Почему? 9. (Первая теорема о среднем) Пусть функция определена и интегрируема по Риману на сегменте , а , (поскольку по условию функция интегрируема по Риману на сегменте , то по необходимому условию интегрируемости, эта функция обязательно ограничена на сегменте , а потому у нее существуют инфимум и супремум). Тогда .
Доказательство. Пусть - произвольное разбиение сегмента , . Тогда
( для
.
Сумма является интегральной суммой для функции , а , тогда последняя формула может быть записана в виде:
. (14)
Если в формуле (14) перейти к пределу, когда , то, учитывая, что - это постоянные, а потому
,
а также, учитывая, что функция интегрируема по Риману на сегменте , получаем, что .
Следствие. Пусть функция определена и интегрируема по Риману на сегменте , а и определены више. Тогда такое, что
.
Геометрически это будет означать следующее: если функция определена и интегрируема по Риману на сегменте , то найдется такое число , что площадь криволинейной трапеции (на рис.1 эта площадь заштрихована черным цветом), которая ограничена графиком функции , осью ОХ и прямыми , будет численно равняться площади прямоугольника (на рис.1 эта площадь заштрихована красным цветом), стороны которого имеют длины (это отрезок ) и (див. рис.2). Пример. Оценить значение интеграла
, не вычисляя его. Для данного интеграла . Для его оценки воспользуемся первой теоремой о среднем. Для этого нам нужно найти инфимум и супремум функции на сегменте : .
Таким образом, , . Тогда
. Задание. Не вычисляя непосредственно, оценить значение интеграла . 10. (Обобщенная теорема о среднем) Пусть функции интегрируемы по Риману на сегменте и выполняются условия: а) для ; б) или для . Тогда такая, что . (15) Доказательство. Предположим сначала, что для . По первому условию .
Учитывая, что , умножим последнее неравенство на , оставивши знаки неравенства неизменными: . (16)
Поскольку интегрируемы по Риману на сегменте , то по свойству 7, также интегрируема по Риману на сегменте . Тогда, учитывая свойство 8, проинтегрируем неравенство (16) по Риману на :
. (17)
Учитывая свойство 6, вынесем постоянные множители за знак интеграла, тогда (17) будет иметь вид: . (18)
Поскольку по предположению , то и , то есть возможны два варианта: 1. ; 2. .
Рассмотрим первый вариант. Если , то (18) будет иметь вид: , а это возможно только тогда, когда .Тогда
и как можно взять любую постоянную, то есть в этом случае теорема имеет место. Рассмотрим второй вариант. Поскольку , то можно поделить почленно неравенство (18) на и при этом знаки неравенства останутся неизменными: . (19)
Если через обозначить , (20)
то из (19) , а из (20)
,
т.е. найденная постоянная удовлетворяет всем требованиям. Пусть теперь , тогда и для такой функция теорема уже доказана, то есть такое, что .
Пользуясь линейностью интеграла Римана, вынесем -1 (постоянный множитель) за знак интеграла: ,
Умножим обе части полученного равенства на -1:
,
то есть теорема доказана и для случая, когда .
|