Лекция 2 – Работа Джеймса Клерка Максвелла

Заложивших основу ТАР

«О регуляторах» (1868)

J.C.Maxwell (1831 - 1879)

J.C.Maxwell. On Gavernos. Proceedings of the Royal Society of London. Vol.16, 1868.

В 1868 году появи­лась работа знаменитого английского физика Д.К. Максвелла «О регуляторах», ставшая одной из основ тео­рии автоматических систем управления. Прежде всего, Максвелл разделил все устройства для регулирования частоты вращения машины на две категории: модераторы и собственно регуляторы. К модераторам он отнес регулирующие устройства, которые в принципе не в состоянии были идеально поддерживать постоянной частоту вращения во всем диапазоне изменения нагрузки (помимо наиболее распространенного на тот период обычного регулятора Уатта, к этой категории были отнесены фрикционный регулятор Д.Эри, водяной регулятор Джона Томсона и др.).

Примечание. Дж.Эри (G.Airy, 1801 - 1892) – английский астроном, математик и изобретатель, первым попытался с помощью математики объяснить явление самораскачивания системы «машина-регулятор». Изобретатель катаракта - особого устройства, порождающего вязкое трение в регуляторе.

К собственно регуляторам Максвелл отнес устройства, способные сводить к нулю любые отклонения частоты вращения от заданного значения. Таким устройством являлся в первую очередь фрикционный регулятор Флеминга Дженкина (условная принципиальная схема управления частотой вращения паровой машины с помощью регулятора Дженкина представлена на рисунке 2.1).

Примечание. В то время существовали и другие астатические регуляторы, например, астатический регулятор Уатта, жидкостный регулятор Вильгельма Сименса …, однако выбор Максвелла пал на регулятор Дженкина.

Рисунок 2.1 - Условная принципиальная схема регулирования

частоты вращения паровой машины с помощью регулятора Дженкина

Максвелл убедился, что в системе «машина-регулятор» инерция регулятора не позволяет ему точно следить за ходом машины. Выяснив, что система машина - регулятор имеет полторы степени свободы и, заменив сложные зависимости между переменными в уравнениях движения пропорциональными отношениями (в современной терминологии такой подход называется линеаризацией), он получил следующие уравнения динамики

(2.1)

где: - положительный коэффициент, характеризующий инерционные свойства объекта регулирования, с; - вещественный коэффициент, характеризующий свойство саморегулируемости объекта; - положительный коэффициент, характеризующий инерционные свойства регулятора, с²; - положительный коэффициент, характеризующий величину вязкого трения в регуляторе, с; - регулируемая переменная (относительное изменение частоты вращения); - регулирующее воздействие (относительное перемещение регулятора); - возмущающее воздействие - величина, характеризующая относительное изменение нагрузки; - относительное открытие паровпускного клапана; - символ дифференцирования по времени , . При этом первое уравнение в (2.1) определяет динамику машины-двигателя, второе - динамику регулятора.

Примечание. Отмечать производные точкой (например: и т.д.) предложил И.Ньютон (Isaac Newton, 1643 - 1727), отмечать производную штрихом (например: и т.д.) предложил Лагранж (Joseph Louis Lagrange, 1736 - 1813), отмечать производную в виде (например: и т.д.) предложил Коши (Augustin Cauchy, 1789 - 1857).

Уравнения (2.1) можно наглядно представить в виде, так называемой, структурной математической модели (представлено на рисунке 2.2).

На структурной схеме отображены взаимосвязи, существующие между переменными, как внутри объекта регулирования (машины) и автоматического устройства (регулятора), так и между ними, а также внешнее воздействие и начальные отклонения (условия) по переменным состояния , . Где - исходное (начальное) значение независимой переменной .

Рисунок 2.2 - Структурная математическая модель системы:

машина-двигатель, управляемая астатическим регулятором

Таким образом, работа регулятора совместно с машиной-двигателем могла быть рассмотрена с позиций малых колебаний каких-либо переменных относительно стационарного состояния (состояния равновесия), что позволяло применить для описания динамики более простой и доступный математический аппарат - теорию линейных дифференциальных уравнений.

При совместном решении уравнений (2.1), например, относительно динамика (движения) системы «машина-астатический регулятор» описывается линейным дифференциальным уравнением третьего порядка.

Уравнение динамики, относительно переменной :

(2.2)

В структурном виде (в виде структурной математической модели) уравнение (2.2) представлено на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3 - Структурная математическая модель системы:

машина-двигатель, управляемая астатическим регулятором

Движения в системе ( ) возникают при, хотя бы одном, ненулевом возмущении, к которым относятся начальные отклонения ( , , ) и внешнее воздействие (смотри рисунок 2.3). Движения, возникающие при , называются возмущенными движениями. Движения, возникающие при ненулевых начальных отклонениях ( , , …) называются собственными.

Примечание. Уравнения равновесия (уравнения статики) легко получаются из соответствующих уравнений динамики приравниванием нулю всех производных в уравнениях динамики.

Характеристическое уравнение уравнений (2.1), (2.2) и (2.3) определяется выражением:

, (2.4)

где - корень уравнения (размерность корня - ).

Характеристическое уравнение (2.4) можно легко получить из уравнений (2.2) и (2.3) приравниванием правых частей уравнений нулю и заменой в левых частях на , - на , - на и - на .

За условие устойчивости системы впервые было принято условие отрицательности корней (отрицательности вещественных частей корней) уравнения (2.4).

Таким условием стало следующее неравенство (условие Максвелла):

. (2.5)

Примечание. Условие (2.5) легко получить с помощью несложного правила: произведение средних коэффициентов в уравнении (2.4) должно быть больше произведения крайних.

Максвелл показал, что математический метод описания динамики системы «машина-регулятор» линейным дифференциальным уравнением третьего порядка, сводящий исследование устойчивости системы к нахождению условий отрицательности корней алгебраического уравнения третьей степени, позволяет понять механизм возникновения неустойчивости работы машины.