Полярная система координат.

Кроме декартовой системы координат для определения положения точек на плоскости часто используют полярную систему координат.

упорядоченная пара чисел . это расстояние от

рис.15

Если на плоскости введены одновременно две системы координат декартова система и полярная система, то между ними существует связь (рис.16).

Рис.16

Из (рис.16.) следуют формулы связи

, (2.23)

И наоборот

(2.24)

Пример 2.9. Изобразить точку на координатной плоскости.

Решение. Сначала нужно поинтересоваться, в каких координатах задана данная точка.

Если в декартовых координатах, то рисунок будет таким (рис.17), если в полярных, то таким (рис.18)

r=3

Рис.17 рис.18

Действительно .Следовательно (см. формулу 2.21).

Упражнение.Изобразить точки заданные в полярной системе координат

и найти прямоугольные координаты этих точек.

Упражнение.Изобразить точки заданные в декартовой системе координат:

и найти полярные координаты этих точек.

Если полярный радиус и полярный угол связаны друг с другом формулой ,

то при изменении угла будет изменяться и полярный радиус. Точки при непрерывном изменении угла опишут некоторую кривую.

Пример 2.10.Построим кривые: 1) в декартовой системе координат;

2) в полярной системе координат.

Соответствующие эскизы этих кривых приведены ниже

Пример 2.11.Построить по точкам кривые: 1) в декартовой системе координат;

2) в полярной системе координат.

Соответствующие эскизы этих кривых приведены ниже

Контрольные вопросы.

I. Дайте определения кривых второго порядка:

1) параболы, 2) эллипса, 3)гиперболы

II. На какой оси координат лежат фокусы (с) данных кривых

III. Напишите формулы перехода от декартовой системы координат к полярной

системе и наоборот.

IV. Пусть произвольная точка в декартовой системе координат, а

произвольная точка в полярной системе координат. Дайте рисунки линий

.

Далее предлагаются упражнения по данной теме для самостоятельной работы . В разделе ответы и решения приведены краткие решения упражнений.