Критерий математического ожидания

При использовании критерия математического ожидания в качестве оценки альтернативы xi обычно бе­рется сумма произведений стоящих в строке xi табл.4-4 численных значений на соответствующие им вероятности (эта ве­личина называется математическим ожиданием):

оценка альтернативы xi есть .

Концепция оптимальности решения: наилучшей (оптимальной) следует считать альтернативу, которой соответствует наибольшее значение математического ожидания.

В примере 4-1 обозначим через q вероятность появления контролера (тогда вероятность его непоявления равна 1—q). Численная оценка «качества» первой альтернативы (брать билет) есть

,

а второй (не брать билета)

.

Надо предпочесть первую альтернативу второй, если , т.е. если .

В примере 4-2 предположим, что вероятности дождливого, жаркого и умерен­ного лета равны соответственно 0,6; 0,1; 0,3. Тогда оценки трех имеющихся альтернатив таковы:

0,6×90+0,1×60+0,3×40=72,

0,6×25+0,1×100+0,3×50=40,

0,6×70+0,1×50+0,3×60=65.

В этом случае надо выбрать первую альтернативу.

Рассмотрим теперь следующий вопрос, имеющий принципиальный характер для задач принятия решения в условиях риска: насколько правомерна оценка альтернативы по мате­матическому ожиданию?

Если принятие решения производится многократно и в неизменных условиях, то математическое ожида­ние можно рассматривать как средний доход, тогда выбор альтер­нативы, приносящей максимальный средний доход, вполне оправдан.

Однако при однократном принятии решения мы можем не получить дохода, равного математическому ожиданию.

Удобно проанализировать механизм принятия решения в условиях риска, воспользовавшись понятием лотереи. Будем понимать под лотереей набор чисел (интерпретируемых как выигрыши в этой лоте­рее) с указанием для каждого числа вероятности его появления.

Ясно, что в задаче принятия решения в условиях риска, в которой исходы имеют численную оценку, сравнение альтернатив означает фактически сравнение соответствующих им лотерей.

Рассмотрим теперь следующий пример. Пусть проводятся две лотереи: в первой одна половина выигрышей по 2 руб., а другая — по 20 руб.; во второй 1/100 — выигрыши по 1000 руб., и 99/100 равны 0. Что выгодней: участвовать в первой лотерее или во второй?

Для первой лотереи математическое ожидание выигрыша равно

0,5×2+0,5×20=11,

а для второй

0,01×1000+ 0,99×0=10.

Итак, по критерию математического ожидания выгоднее участвовать в первой лотерее, но некоторые могут с этим не согласиться на том основании, что при участии во второй лотерее есть шанс по­лучить крупный выигрыш. На это можно возразить, что в случае неудачи мы во второй лотерее не получим ничего, а в первой лоте­рее нам гарантирован выигрыш в 2 руб. Человек осторожный (пе­рестраховщик) предпочтет, по-видимому, первую лотерею, а склонный к риску (максималист) — вторую. Таким образом, нельзя дать однозначного ответа на вопрос: какая из этих двух лотерей действительно (т. е. объективно) выгоднее, так как предпочтение между ними зависит от психологических особенностей человека, точнее, от его отношения к риску.

4.2.Функции полезности

В последнем примере критерий ожидаемого значения применялся в ситуации, где платежи выражались в виде реальных денег (турнирных очков и т.п.). Име­ются многочисленные случаи, когда при анализе следует использовать скорее полез­ность, чем реальную величину платежей. Для демонстрации этого предположим, что имеется шанс 50 на 50, что инвестиция в 20 000 долларов или принесет прибыль в 40 000 долларов, или будет полностью потеряна. Соответствующая ожидаемая прибыль равна 40000×0,5 - 20000×0,5 = 10000 долларов. Хотя здесь ожидается прибыль в виде чисто­го дохода, разные люди могут по-разному интерпретировать полученный результат. Тем более, что речь здесь идет об однократном принятии решения и критерий математического ожидания в данном случае не имеет очевидной интерпретации. Ин­вестор, который идет на риск, может сделать инвестицию, чтобы с вероятностью 50% получить прибыль в 40 000 долларов. Наоборот, осторожный инвестор может не выра­зить желания рисковать потерей 20 000 долларов. С этой точки зрения очевидно, что разные индивидуумы проявляют разное отношение к риску, т.е. они по разному оценивают «полезность» в условиях риска.

Определение полезности является субъективным. Оно зависит от нашего отношения
к риску. В этом разделе мы представляем систематизированную процедуру численной
оценки отношения к риску лица, принимающего решение. Конечным результатом является функция полезности, которая занимает место реальных денег.

В примере, приведенном выше, наилучший платеж равен $40 000, а наихудший $20000. Следовательно, мы устанавливаем произвольную, но логическую шкалу полезности U, изменяющуюся от 0 до 100, где 0 соответствует -$20000, а 100 соответствует $40 000, т.е. U(-20000) = 0 и U (40000) = 100. Далее определяем полезность в точках между -$20000 и $40 000 для определения общего вида функции полезности.

Процедура построения функции полезности начинается с того, что вводится класс эталонных лотерей с нижним эталонным выигрышем L=-$20000 и верхним эталонным выигрышем W=$40000.

Для определения значения U(x) просят лицо, принимающее решение, сообщить его предпочтение между гарантированной наличной суммой х и возможностью сыграть в лотерею, в которой с вероятностью (1-р) реализуется проигрыш в сумме $20000 и с вероятностью р имеет место выигрыш в $40000. При этом определяется значение «нейтральной» вероятности, при которой с точки зрения лица, принимающего решение, возможности сыграть в лотерею и получить гарантированную сумму х являются одинаково привлекательными. Иначе говоря, ЛПР просят указать: за какую сумму x долларов он согласился бы продать свой лотерейный билет. Его ответ устанавливает соответствие между x и p, соответствие, характеризующее его лично. Значение полезности вычисляется по формуле

U(x)=0(1-p(x))+100p(x)=100p(x).

Например, если х = $20000, лицо, принимаю­щее решение, может заявить, что гарантированные 20000 долларов наличными и лотерея одинаково привлекательны при р = 0,4. В этом случае полезность для х = $20000 вычисляется по следующей формуле.

U(20000) = 100×0,4 = 40.

Эта процедура продолжается до тех пор, пока не будет получено достаточное количе­ство точек (х, U(x)) для определения формы функции полезности. Затем можно опреде­лить искомую функцию полезности путем регрессионного анализа или просто линейной интерполяции между полученными точками.

Зависимость U(x) можно представить в виде кривой, которую также называют кривой p-безразличия [Райфа 12 н]. Для любой точки (x,U(x)) на кривой, принимающему решение безразлично, получить ли наверняка x долларов, или принять участие в лотерее, вероятность выигрыша в которой равна U(x)/100.

Рис.4.1 иллюстрирует вид функции полезности для трех индивидуумов X, Y и Z. Индивидуум X не расположен к риску (осторожен), так как проявляет большую чувствительность к убыткам чем к прибыли. Индивидуум Z – противоположность в этом отношении индивиду X – он настроен на риск. Это следует из того, что для индивидуума X при отклонении на 10000 долларов вправо и влево от точки, соответствующей 0 долларов, увеличение прибыли изменяет полезность на величину ab, которая меньше изменения полезности bc, обусловленной потерями такой же величины, т.е. ab < be. В то же время, такие же изменения в долларов, относящиеся к индивидууму Z, обнаруживают противополож­ное поведение: здесь de > ef. Далее, индивидуум Y является нейтральным к риску, так как упомянутые изменения выраженные в виде реальных денег порождают одинаковые изменения полезности. В этом случае шкала полезности будет отличаться от денежной только масштабом стоимостей, а относительные значения стоимостей останутся прежними. Кривая p-безразличия для индивидуума Y будет просто прямой, соединяющей точки (-20000,0) и (40000,100). Легко убедиться в этом, заметив, что изменения в последнем случае касаются лишь масштаба денежной единицы и следовательно функция полезности имеет вид

и является уравнением прямой.

В общем слу­чае индивидуум может быть как не расположен к риску, так и настроен на риск, в зави­симости от суммы риска. В этом случае соответствующая кривая полезности будет иметь вид удлиненной буквы S. Таким образом, одна и та же денежная шкала может быть заменена разными шкалами полезности в зависимости от возможностей и критериев инвесторов.

Хотя здесь применяется количественная процедура для определения функции полез­ности, сам подход далек от того, чтобы быть научно обоснованным. То, что процедура полностью определяется мнением лица, принимающего решение, порождает сомнения относительно надежности описанного процесса. Процедура, в частности, неявно предпо­лагает, что лицо, принимающее решение, является рационально мыслящим — требова­ние, которое не всегда может быть согласовано с вариациями в поведении и настроении, что является типичным для человеческой личности. В этом отношении лицо, прини­мающее решение, должно придерживаться концепции полезности в широком смысле, в соответствии с которой денежные величины не должны быть единственным решающим фактором в теории принятия решений.

Для того, чтобы проиллюстрировать преимущества шкалы полезности по сравнению с денежной шкалой, в следующем разделе приводится пример, в котором используется правило максимизации математических ожиданий.