Визначення основних величин та пружність металів.

6.1. Визначення основних величин та пружність металів.

Найважливіші положення теорії пружності широко використовуються для проведення розрахунків при конструюванні машин та агрегатів. Для практичного застосування необхідно знати константи пружності, що характеризують той чи інший матеріал. Поряд з цим точне вимірювання цих матеріальних констант дозволяє фізику та металознавцю скласти уяву про міжатомну взаємодію та про фазові перетворення речовини. Пружність, як і всі інші фізичні властивості, може бути використана для дослідження металів та сплавів та розв’язку задач металознавства.

Основними величинами, які характеризують пружність, є

Е – модуль нормальної пружності ( модуль Юнга);

G – модуль зсуву;

D – модуль всебічного стиснення (або об’ємної пружності);

μ – коефіцієнт Пуассона.

Ці чотири величини пов’язані між собою двома співвідношеннями:

та (6.1)

Три вказаних модуля (E, G, D) характеризуют пропорційність між напруженністю та пружною деформацією відповідно при розтягуванні, зсуві та всебічному стисненні. Це є наслідком елементарного закону Гука для деформацій в пружній області:

, , (6.2)

де s, t та p – напруження: нормальне, дотичне та всебічне стиснення; ε, g, - відносне розтягнення, зсув та зміна об’єму. Тут вважається, що напруження та деформація співпадають за напрямком.

Коефіцієнт Пуассона μ характеризує зміну об’єму тіла при пружній деформації: збільшення при розтягненні та зменшення при стисненні. Наприклад, при односторонньому розтягненні збільшення об’єму внаслідок його подовження тільки частково компенсується поперечним звуженням. Аналогічне явище відбувається при однобічному стисненні.

(6.3)

де та - відносна зміна поперечних та повздовжних розмірів тіла призматичної форми. Величина μ однакова при розтягненні та стисненні. Для більшості металів та сплавів знаходиться у межах 0,25-0,35; найменше знайдене у берилія (0,039), найбільше – у свинця (0,44), телура та індія (0,46).

Рис. 6.1. – Відношення модуля зсуву до модуля Юнга при 0 К для металів з ОЦК , ГЦК та ГЩУ граткою. Пряма лінія відповідає відношенню .

Наслідок близькості значень коефіцієнта Пуассона μ у металів відношення модуля зсуву до модуля нормальної пружності для більшості металів повинно бути близьким. З експериментальних даних видно, що . Відповідність виразу експериментальним даним показує рис. 6.1., на якому вказано відношення при 0 К для ОЦК, ГЦК та гексагональних металів. Для кубічних металів більш добре узгодження з експериментальними даними дає відношення .

Наведений опис Е та G відноситься до одноосної деформації тіла. Для повного описання закону Гука потрібно розглядати співвідношення між прикладеними силами та деформаціями кристалу при довільній (складній) деформації. Для цього в декартовій системі координат потрібно знайти компоненти деформації та напруження, а тим самим і компоненти модуля пружності тіла. Останні потрібно знати для того, що оцінити анізотропію пружності у кристалі. Розглянемо пружну деформацію куба (рис. 6.2), при якому виключено його обертання навколо будь-якої точки. У відсутності обертання будуть урівноважені всі діючі на куб сили. На рис. 6.2 показані всі можливі сили (Х, Y, Z), прикладені вздовж осей x, y, z. Якщо прийняти площу кожної грані куба рівною 1 см², то ці сили рівні прикладеним напруженням:

Рис. 6.2. Компоненти напружень в декартовій системі координат.

Діагональні величини - це розтягуючи або стискуючі, в залежності від знаку або - , напруження (нормальні напруження), оскільки вони перпендикулярні граням куба. Інші шість величин – це дотичні напруження, спрямовані паралельно граням куба. Неважко бачити, що ці напруження попарно рівні: Перша пара спрямована паралельно площині , друга , третя . Таким чином, рівновага визначається шістьма напруженнями: трьома нормальними та трьома дотичними. Їх позначають:

та називають компонентами напруження.

Аналогічно цьому і деформація тіла, коли воно деформоване без чистого обертання, може бути описана шістьма компонентами, а саме:

Величини характеризують поздовження (стиснення) вздовж кожної з координат, а - зсув за кожною з трьох площин куба та .

Закон Гука полягає в тому, що компоненти напруження є лінійною функцією компонент пружної деформації. В рівняннях (6.2) наведено такі функції для усереднених за всім об’ємом характеристик деформації та напруження.

Якщо закон Гука записати за всіма компонентами, в повному вигляді, то потрібно скласти наступні шість рівнянь:

Коефіцієнти - називають модулями пружності. Як видно, для повного опису пружної поведінки тіла потрібно визначити 36 матеріальних констант . Однак, у ряді випадків, багато з них дорівнюють нулю, або взаємно пов’язані простими рівняннями. Наприклад для квазіізотропного металу достатньо двох коефіцієнтів: E та G. Для кубічних кристалів (Al, Au, Cu, Pb, Fe, Na, W) достатньо трьох коефіцієнтів для опису пружної деформації. Для кристалів з гексагональною граткою достатньо знати 5 констант, для металів з низкою симетрією – шість.

Відношення характеризує анізотропний опір кристалічної гратки дії зовнішніх зсувних напружень та носить назву показника анізотропії. Для ізотропного тіла А = 1. Серед металів лише є пружно ізотропним при кімнатній температурі. Для металів показник анізотропії знаходиться у межах , лужні метали мають особливо сильну анізотропію.

З числа кубічних металів лише хром, ванадій та молібден мають показник анізотропії менше одиниці, відповідно у цих металів модуль є максимальним вздовж ребра кубу та мінімальним вздовж просторової діагоналі [111] ОЦК гратки.

Пружні властивості монокристалів та полікристалічних зразків визначаються статичними та динамічними методами. Статичні методи засновані на вимірюванні напруження та деформації; в теперішній час ці методи практично не застосовують внаслідок їх невисокої точності.

Динамічні методи поділяють на дві основні групи: резонансні, в яких в зразках збуджують повздовжні або поперечні власні коливання, та імпульсні, в яких пружна деформація збуджується при проходженні через зразок звукової хвилі.

В резонансних методах в стержневих зразках довжиною та густиною за допомогою пьезоелектричних, магнітострикційних та електростатичних систем збуджуються власні коливання частотою 1-25 кГц. По резонансній частоті коливань розраховується модуль пружності Е:

По резонансній частоті крутильних коливань з допомогою аналогічної формули розраховують модуль зсуву G. Резонансні методи використовують, в основному, для визначення пружних характеристик полікристалічних зразків. Точність визначення модулей – десяті долі відсотка.

В імпульсних методах вимірюють час проходження звукової хвилі в зразку довжиною та розраховують швидкість звука . Ультразвукові методи зручні для вимірювання пружних властивостей монокристалів: точність визначення модулей складає близько 0,5%.

Анізотропією пружних властивостей характеризуються не тільки монокристали, але у багатьох випадках полікристалічні текстуровані матеріали. У випадку гострої текстури (наприклад текстура Госа в електротехнічній сталі) анізотропія пружності наближається до анізотропії монокристалу.

Згідно Фойгту, модуль зсуву ізотропного полікристалічного металу при постійній деформації в зернах розраховується за формулою:

Значення - це верхня межа. Нижню межу дає формула Ройсса в наближенні постійності напружень в зернах:

, де для кубічних кристалів , .

Модуль пружності текстурованого матеріалу в першому наближенні може бути знайдено за правилом адитивності. В міді, деформованій пресуванням через вічко, присутні в основному компоненті аксіальної текстури. Долі всіх останніх орієнтацій в деформованій міді незначні. Тому модуль пружності вздовж осі дроту дорівнює:

,

де - середні долі орієнтувань вздовж осі зразка; - модулі Юнга в напрямках [100] та [111].

В рамках атомістичних уявлень пружна деформація – це необоротний зсув атомів з положень рівноваги.

Модулі пружності характеризують сили взаємодії між сусідніми атомами в кристалічній гратці і відповідно електроні конфігурації, що впливають на ці сили. Середня енергія міжатомної взаємодії змінюється з температурою, тому модулі пружності також залежать від температури. В теорії теплоємності Дебая кристалічне тіло розглядається як ізотропний пружний контініум, що здійснює гармонічні коливання. Температурна залежність середньої енергії гармонічного осцилятора визначає температурну залежність модулей пружності. Тому термічний коефіцієнт модулей пружності змінюється з температурою таким же чином, як і теплоємність . При збільшенні температури модуль пружності зменшується:

З теорії Дебая випливає, що при низьких температурах модуль пружності змінюється пропорційно , а при високих температурах ( ) – пропорційно Т.

Тугоплавкі метали мають найбільш низькі температурні коефіцієнти модулей пружності. Температура плавлення, так же як і модулі пружності, характеризують сили зв’язку в металах. Тому між ізотропними (полікристалічними) модулями E, G, D більшості металів та металоподібних карбідів ( ZrC, NbC, WC, TaC, HfC тощо) і відношенням має місце проста лінійна залежність.

Термічні коефіцієнти модулей пружності E та G монокристалів залежать від кристалографічного напрямку: вони максимальні в напрямках, відповідних мінімуму модулей пружності та навпаки, мінімальні в напрямках, де модулі пружності досягають максимуму.

Модулі пружності, рівно як і температура Дебая, помітно зростають при збільшенні тиску Р. Модуль об’ємної пружності дорівнює оберненій величини коефіцієнта всебічного стиснення .

Залежність від тиску може бути представлена у вигляді:

,

де ізобаричний коефіцієнт модуля

Для заліза цей коефіцієнт дорівнює 2,06 , для міді 3·10^-11, для срібла
5,1∙^-11 Па^-1.

Монотонний хід температурної залежності модулей пружності переривається в точках фазових переходів (встановлення феромагнітного або антиферомагнітного порядку, алотропічні перетворення тощо). Так наприклад, було досліджено вплив температури на модулі зсуву та показник анізотропії α-Fe. При температурах від 0 до 700 °С модуль зсуву та показник анізотропії А змінюються лінійно, поблизу точок Кюрі на кривих температурної залежності модулей та А спостерігаються перегини. При низьких температурах нахил кривих зменшується та модулі прямують до постійної величини. Збільшення модуля зсуву, а також модуля пружності Е заліза при переході в феромагнітний стан відповідає зменшенню коефіцієнта термічного розширення, перетворення заліза збільшує Е в зв’язку із збільшенням компактності гратки.

Під впливом наклепу об’ємноцентрованого α-заліза значення Е зменшується. У металів з гранецентрованою кубічною граткою (Al, Ni та Cu) також спостерігається падіння модуля нормальної пружності при наклепі, яке при сильному ступені деформації змінюється збільшенням. Останне пояснюється текстурою протяжки .

Модуль пружності при кімнатній температурі є періодичною функцією атомного номера (рис.6.2).

Серед елементів третього періоду – Na, Mg, Al, Si, та модуль збільшується разом з атомним номером, що пов’язано із збільшенням числа валентних електронів та зменшенням атомного радіуса. Серед елементів однієї групи, наприклад Be, Mg, Ca, Sr, Ba, із збільшенням атомного номера модуль пружності зменшується разом із збільшенням атомного радіуса.

Модуль пружності перехідних металів відносно високий, що можна приписати значній силі міжатомного зв’язку, обумовленій -електронами. Найбільше значення модуля мають елементи з 5-7 -, електронами (Os, Ru, Fe, Mo, Co тощо).

Рис. 6.2. Періодична зміна модуля нормальної пружності.

Модулі пружності сплавів. Невеликі кількості легуючих елементів викликають незначні зміни модулей пружності. Як приклад, вкажемо на близкість значень модулей пружності відпаленого заліза, низьковуглецевої сталі, відпаленої сталі з вмістом 0,75%С. Порівняння значень модулей для відпаленої та загартованої вуглецевої сталі, показують, що гартування дещо зменшує модулі Е та G (на 4 %). Вуглець викликає лінійне зменшення модуля нормальної пружності аустеніта, Па, а саме при 1000 °С.

,

де - концентрація вуглецю в атомних долях.

При повній розчинності в твердому стані, тобто при однотипних просторових гратках двух металів та близькій їх валентності та атомному радіусу, модуль пружності подвійного твердого розчину змінюється лінійно або майже лінійно (Cu-Ni, Cu-Pt, Cu-Au, Ag-Au) в функції атомної концентрації.

Зміна концентрації електронів, тобто числа електронів на атом, при легуванні металу елементом з іншою валентністю змінює число електронів, що беруть участь в утворенні зв’язку, та таким чином. змінюють як модуль пружності, так і атомний об’єм. Згідно Кестеру, зміна атомного об’єму відповідно періоду кристалічної гратки при легуванні Cu, Au, Ag з металами В-груп періодичної системи (Zn, Cd, Ga, In, Tl, Ge, Sn, Pb, As, Sb, Bi), з якими вони утворюють обмежені ряди твердих розчинів

де - концентрація, % (ат.); - різниця валентності легуючого компонента та розчинника; , - постійні, при цьому - пов’язана з ефективним радіусом атома в твердому розчині.

Перший член в формулі характеризує зміну періода гратки при введенні атома, радіус якого відмінний від радіуса атома розчинника; другий член – зміна періоду внаслідок зміни електронної концентрації. Відповідний вираз для зміни модуля пружності має вигляд:

де та - постійні величини.

З цих формул отримуємо:

Якщо не враховувати члени та , то

і відповідно приріст модуля пружності пропорційний зменшенню періоду гратки. Якщо та не рівні 0, то у відповідності з рівнянням () відсутнє просте співвідношення між зміною модуля пружності та періоду гратки. Так, наприклад, добавка Cd до Au збільшує період гратки, але модуль Е також зростає; Zn та Ga викликають зменшення періоду гратки в сплавах Ag та Au; однак модуль пружності в цих сплавах знижується. З рівняння випливає, що модуль пружності пропорційний концентрації твердого розчину.

Залежність модуля пружності від складу сплавів міді та срібла з елементами В-груп різної валентності показана на рис. 6.3. Видно, що при збільшенні z відбувається різке зниження модуля пружності.

Рис.6.4. Зміна модуля Е в залежності від атомного вмісту розчиненого металу в Cu та Ag.

При утворенні твердих розчинів елементами з рівними або близькими , наприклад при легуванні заліза -металами (Cr, V, Co, Ni, Mn), вклад зміни електроної концентрації в зміну модуля пружності визначається зміною міжатомної відстані та тим локальним тиском, який виникає поблизу атома домішку, що має атомний об’єм, відмінний від об’єма атома розчинника.