Теорема о бабочке

Теорема о бабочке. Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордойEF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Рис. 5

Доказательство. Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B. Теперь введём следующие обозначения:

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG, получим

(1)

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG, получим

(2)

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Поэтому

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL, получим равенство

откуда вытекает равенство

x = y ,

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

***

www.resolventa.ru