Производная и дифференциал, их геометрический смысл.

Определение 1. Пусть функция у = f(x) определена на интервале (а, b) и непрерывна в точке х₀ (а; b). Пусть также М(x₀; y₀), y₀ = f(x₀) - фиксированная точка графика функции у = f(x); точка М ( ; ), = f( ) - подвижная точка графика. Предельное положение секущей M₀M, когда точка М по дуге графика функции стремится к точке М₀, называется касательной к графику функции У = f(x) в точке М₀.

Если функция у = f(x) дифференцируема в точке x₀, то ее производная в этой точке равна тангенсу угла наклона касательной к оси Ох, а дифференциал равен приращению ординаты касательной

f'(x₀) = tg a.

При этом уравнение касательной имеет вид:

У = f'(x₀) • (x - x₀) + f(x₀)

Если функция у = f(x) имеет в точке x₀бесконечную производную, то ее касательной является вертикальная прямая х = х₀.

Определение 2. Углом между кривыми у = f(x) и у = g(x) называется угол между касательными к графикам этих функций, проведенными в точке пересечения графиков.
В не для которых задачах возникает необходимость введения нормали к графику данной функции в данной точке. Под нормалью к кривой понимается прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания. Если f'(x₀) 0, то уравнение нормали имеет вид:

Если же f'(x₀) = 0, то нормалью является-вертикальная прямая х = х₀.
Определение 1. Пусть функция у = f(x) определена на интервале (а, b) и непрерывна в точке х₀ (а; b). Пусть также М(x₀; y₀), y₀ = f(x₀) - фиксированная точка графика функции у = f(x); точка М ( ; ), = f( ) - подвижная точка графика. Предельное положение секущей M₀M, когда точка М по дуге графика функции стремится к точке М₀, называется касательной к графику функции У = f(x) в точке М₀.

Если функция у = f(x) дифференцируема в точке x₀, то ее производная в этой точке равна тангенсу угла наклона касательной к оси Ох, а дифференциал равен приращению ординаты касательной

f'(x₀) = tg a.

При этом уравнение касательной имеет вид:

У = f'(x₀) • (x - x₀) + f(x₀)

Если функция у = f(x) имеет в точке x₀бесконечную производную, то ее касательной является вертикальная прямая х = х₀.

Определение 2. Углом между кривыми у = f(x) и у = g(x) называется угол между касательными к графикам этих функций, проведенными в точке пересечения графиков.
В не для которых задачах возникает необходимость введения нормали к графику данной функции в данной точке. Под нормалью к кривой понимается прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания. Если f'(x₀) 0, то уравнение нормали имеет вид:

Если же f'(x₀) = 0, то нормалью является-вертикальная прямая х = х₀.