Изложите сущность уравнения неразрывности потока.

В условиях установившегося движения поток жидко­сти рассматривают как совокупность элементарных струек.

рис. 9.1. Поток жидкости при установившемся движении. К понятию об уравнении неразрывности потока.

Выделим по длине элементарной струйки в установив­шемся потоке (рис. 9.1) два сечения I – I и II – II и обо­значим соответственно площади сечения струйки через Δω₁ и Δω₂, скорости течения через u₁ и u₂ и расходы элементарной струйки через ΔQ₁ и ΔQ₂. Если плотность жид­кости постоянна, т. е. const, то, учитывая свойства элементарной струйки, можем записать, что

u₁Δω₁ = u₂Δω₂

или

ΔQ₁ = ΔQ₂, (*)

следовательно, объем жидкости, прошедший через сече­ние I – I за некоторый промежуток времени, должен быть равен объему жидкости, прошедшему за то же время через сечение II – II. Просуммировав обе части уравне­ния (*) по каждому из сечений в пределах живого сече­ния потока, запишем:

или

Q₁ = Q₂,

откуда

Q_i = Q₂ = Q = const,

т. е. при установившемся движении расходы жидкости во всех живых сечениях потока одинаковы.

Учитывая выражение для средней скорости потока v = Q/ω, последнее уравнение пере­пишем следующим образом:

ω₁v_l = ω₂v₂ = Q = const. (**)

Уравнение (**) представляет собой уравнение неразрывности потока. Оно показывает, что при установившемся движении через любое сечение потока зa единицу времени проходит одно и то же количество жидкости.

На основании уравнения (**) можно заключить, что средние скорости потока обратно пропорциональны пло­щадям соответствующих живых сечений:

v_l/v₂ = ω₂/ω₁.

11. Изложите физическую сущность понятия вязкости; охарактеризуйте её влияние на движение жидкости.

рис. 11.1 Течение вязкой жидкости вдоль твердой стенки

Вязкость представляет собой свойство жидкости сопротивляться сдвигу (скольжению) ее слоев. Это свойство проявляется в том, что в жидкости при определенных усло­виях возникают касательные напря­жения. Вязкость есть свойство, противоположное текучести: более вязкие жидкости (глицерин, смазочные масла и др.) являются менее текучими, и наоборот.

При течении вязкой жидкости вдоль твердой стенки происходит торможение потока, обусловленное вязкостью (рис. 11.1). Скорость v уменьшается по мере уменьшения расстояния у от стенки вплоть до v = 0 при у = 0, а между слоями происходит проскальзывание, сопровождающееся возникновением касательных напряжений (на­пряжений трения),

Согласно гипотезе, высказанной впервые Ньютоном в 1686 г., а затем экспериментально обоснованной проф. Н. П. Петровым в 1883 г., касательное напряжение в жидкости зависит от ее рода и характера течения и при слоистом течении изменяется прямо пропорционально так называемому поперечному градиенту скорости. Таким образом

τ = μdv/dу (*)

где μ – коэффициент пропорциональности, получивший название динамической вязкости жидкости;

dv – приращение скорости, соответствующее прира­щению координаты dy (см. рис. 11.1).

Поперечный градиент скорости dv/dy определяет изменение ско­рости, приходящееся на единицу длины в направлении нормали к стенке и, следовательно, характеризует интенсивность сдвига жидкости в данной точке (точнее dv/dy – это модуль градиента ско­рости; сам градиент – вектор).

Из закона трения (*), следует, что напряжения трения возможны только в движущейся жидкости, т. е. вязкость жидкости проявляется лишь при ее течении. В покоящейся жидкости касательные напряжения будем считать равными нулю.

Изложенное позволяет сделать вывод, что трение в жидкостях, обусловленное вязкостью, подчинено закону, принципиально от­личному от закона трения твердых тел.

Если течение жидкости таково, что имеется еще градиент скоро­сти в направлении, нормальном к плоскости рисунка (см. рис. 11.1), то полную производную в формуле (*) надо заменить частной производной ∂v/∂y.

При постоянстве касательного напряжения по поверхности S полная касательная сила (сила трения), действующая по этой по­верхности

Т = μ(dv/dу)S

Для определения размерности вязкости μ (Па∙с) решим уравне­ние (*) относительно μ, в результате чего получим

μ = τdу/dv.

Наряду с динамической вязкостью μ применяют кинематическую:

ν = μ/ρ

Единицей измерения кинематической вязкости является стокc:
1 Ст = 1 см²/с. Сотая доля стокса называется сантистоксом (сСт).

Вязкость капельных жидкостей зависит от температуры и умень­шается с увеличением последней (рис. 11.2). Вязкость газов, наоборот, с увеличением температуры возрастает. Объясняется это различием природы вязкости в жидкостях и газах. В жидкостях молекулы расположены гораздо ближе друг к другу, чем в газах, и вязкость вызывается силами молекулярного сцепления. Эти силы с увеличе­нием температуры уменьшаются, поэтому вязкость падает, В газах же вязкость обусловлена, главным образом, беспорядочным тепловым движением молекул, интенсивность которого увеличивается с повы­шением температуры. Поэтому вязкость газов с увеличением темпе­ратуры возрастает.

Влияние температуры на вязкость жидкостей можно оценить формулой

μ = μ₀/е^{-β(Т – Т0)}

где μ и μ₀ – вязкости при температуре Т и Т₀;

рис. 11.2 Зависи­мость относительной вяз­кости μ/μ₀ от давления для предельных значений коэффициента α.

Вязкость жидкостей зависит также от давления, однако эта за­висимость существенно проявляется лишь при относительно боль­ших изменениях давления (в несколько десятков МПа). С увеличением давления вязкость большинства жидкостей растет, что может быть оценено формулой

μ = μ₀/е^{-α(р – р0)}

где μ и μ₀ – вязкости при давлении р и р₀,

α – коэффициент, значение которого для минеральных масел изменяется в пределах 0,02 – 0,03 (нижний предел соответствует высоким температурам, а верхний – низким).

Приближенная зависи­мость относительной вяз­кости μ/μ₀ от давления для минеральных масел показана на рис. 11.2 для предельных значений коэффициента α.