КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется функция где Bj, Ai -заданные коэффициенты, ,Рациональной дробью называется функция где Bj, Ai -заданные коэффициенты, , . Рациональная дробь называется правильной, если m<n, неправильной, если m³n. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Действительно, пусть R(x)= - неправильная рациональная дробь. Разделим числитель на знаменатель, получим , где Ll(x) и остаток rk(x) - многочлены, а - правильная рациональная дробь. Любой многочлен может быть представлен в виде: Где - корень кратности k1; - корень кратности k2; - корень кратности kl. В таком случае правильную дробь можно представить в виде: Все дроби представленные в разложении исходной дробно-рациональной функции называются простейшими, числа A, B, C с различными индексами называются неопределенными коэффициентами и однозначно определяются из решения системы линейных уравнений составляемой путем приведения всех простейших дробей к одному знаменателю из соображения однозначности представления многочлена по степеням своей переменной. В результате представленного разложения становиться возможным вместо взятия интеграла от исходной дробно-рациональной функции (сообразуясь со свойствами неопределенного интеграла) брать интегралы от полученных простейших дробей и в качестве ответа к исходному примеру записывать их линейную комбинацию. Отметим тот факт, что получившиеся при разложении простейшие дроби бывают четырех видов: ; ; ; . Приведем вычисление интегралов от этих простейших дробей. 1. . 2. . 3. 4. где Использовав для данного интеграла метод интегрирования по частям можно получить рекуррентную формулу: по которой, действуя последовательно, можно спуститься до . Таким образом, обобщая все вышесказанное можно сформулировать алгоритм пригодный для интегрирования дробно-рациональных функций. 1. Выделяем целую часть, и получаем интеграл от многочлена и правильной дробно-рациональной функции. 2. Представляем правильную дробно-рациональную функцию как сумму простейших дробей. 3. Вычисляем интегралы от простейших дробей. 4. Записываем ответ как сумму от получившихся в п.3. выражений. Найти неопределенный интеграл: Данный пример предполагает применение метода вычисления интегралов от дробно-рациональных функций. Алгоритм наших действий следующий: 1. Выделяем целую часть, и получаем интеграл от многочлена и правильной дробно-рациональной функции.т.е. 2. Представляем правильную дробно-рациональную функцию как сумму простейших дробей. в силу единственности представления многочлена получаем систему уравнений: т.е. 3. Вычисляем интегралы от простейших дробей.
4. Записываем ответ как сумму от получившихся в третьем пункте выражений.
|