КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
ФУНКЦИЙ
М А Т Е М А Т И К А
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ
ФУНКЦИЙ
Методические указания
к решению задач по теме «Интегрирование рациональных дробей»
для студентов ФАВТ, ФМА, ФФиТРМ
дневного, вечернего и заочного отделений
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
Составители: Н.И. Васильева, Е.Ю. Непомнящая
Рецензент: В.Г. Галкина
Утверждено на заседании кафедры математики и информатики.
Протокол № 9 от 16 февраля 2012 года.
© Санкт-Петербургский государственный
университет кино и телевидения, 2012 г.
 |
§1. Понятие рациональной дроби
Введем несколько понятий и определений из алгебры многочленов, которые нам потребуются.
Многочленом степени n называется выражение вида
(1)
Числа a0, a1, a2, ... an называются коэффициентами многочлена. Число коэффициентов (а также членов многочлена), включая и нулевые, равно 
Пример 1.1. Определить степень многочлена 
и указать его коэффициенты.
Старшая степень x равна 3, значит, это многочлен третьей степени. Его коэффициенты: 
Пример 1.2. Является ли выражение 
многочленом?
Преобразуем данное выражение:
Мы получили многочлен в форме (1). Его степень равна 3, коэффициенты: 
Любой многочлен в области действительных чисел может быть разложен на простые множители. Простыми множителями многочлена являются множители вида
и 
при условии 
Пример 1.3. Разложить на множители многочлен 
Данный квадратный трехчлен имеет корни 
Тогда (см. приложение) получим
Пример 1.4. Разложить на множители многочлен 
Преобразуем данное выражение:
Разложение закончено, второй множитель не имеет действительных корней.
Пример 1.5. Разложить на множители многочлен 
Вынесем общий множитель x за скобку:
и разложим квадратный трехчлен на множители (см. приложение, а также пример 1.3):
.
Два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, если они имеют равные коэффициенты при одинаковых степенях аргумента.
Пример 1.6. Даны два многочлена 
и 
При каких значениях 
данные многочлены равны? Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим
При записи слева от черты указаны степени 
многочлена, при которых идет сравнение, справа – коэффициенты при этой степени. Такая форма записи наглядна и удобна при проверке.
Пример 1.7. Найти коэффициенты 
, если
Преобразуя левую часть равенства, получим многочлен
Сравним коэффициенты двух многочленов:
Получили систему трех уравнений с тремя неизвестными . Решим эту систему. Сложив все три уравнения, получаем 
Из первого и третьего уравнений находим 
и 
:
Итак, 
Замечание. Сравнение коэффициентов при одинаковых степенях x всегда приводит к системе линейных уравнений, имеющей единственное решение. В ряде случаев для определения коэффициентов полезно подставить конкретное значение , удобное для определения одного из коэффициентов. Так, в данном примере, подставив 
в исходное равенство
,
получим
Выбор значения обусловлен тем, что это значение обращает в ноль второе слагаемое правой части равенства.
Пример 1.8. Найти коэффициенты , если
Подставим в исходное равенство последовательно значения 
При 
При 
При 
При выбранных нами x каждый раз слева остается только одно слагаемое и коэффициенты определяются легко. Сравним коэффициенты при одинаковых степенях .
Мы получили систему из трех уравнений. Решение этой системы более трудоемко, чем нахождение приведенным выше способом, но способ подстановки значений годится только для частных случаев.
Пример 1.9. Определить 
и из условия
Раскроем скобки в правой части равенства:
Сравним коэффициенты при одинаковых степенях :
Решив систему, получим 
Пример 1.10. Определить 
из условия
Раскрывая слева скобки и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим
Решив систему, получим 
Примеры для самостоятельного решения.
| № | Условие | Ответ |
|  
| |
|  
|
Рациональной алгебраической дробью называется дробь вида
Дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя 
.
Дробь называется неправильной, если степень числителя больше или равна степени знаменателя 
Дроби вида
,
где 
, называются простейшими дробями соответственно 1, 2, 3, 4 типов.
Примеры.
– неправильная рациональная дробь.
– правильная рациональная дробь.
– правильная рациональная дробь.
– не является рациональной дробью.
– правильная рациональная дробь.
– правильная рациональная дробь.
Неправильная рациональная дробь всегда может быть представлена в виде суммы многочлена степени 
и правильной рациональной дроби с исходным знаменателем (m – степень числителя, n – степень знаменателя).
Чтобы получить такое представление неправильной рациональной дроби, нужно разделить числитель на знаменатель по правилу деления многочленов "уголком".
Пример 1.11.
Представить неправильную рациональную дробь
в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.
Разделим числитель на знаменатель. Для этого и делимое – числитель, и делитель – знаменатель записываются по убывающим степеням . Каждое слагаемое частного получается делением старшего члена делимого на старший член делителя. Деление продолжается до тех пор, пока степень остаточного члена не станет меньше степени делителя.
Далее деление невозможно, так как степень последнего делимого меньше степени делителя. В результате получили целую часть дроби – многочлен 
степени 
остаток 
следовательно,
.
Результат деления дроби на дробь можно получить и с помощью метода неопределенных коэффициентов.
Рассмотрим этот метод на нашем примере. Запишем в общем виде результат деления:
,
где 
– общий вид многочлена второй степени, который должен получиться при делении.
– общий вид правильной дроби (знаменатель имеет степень 2, степень числителя на единицу меньше степени знаменателя).
– неизвестные коэффициенты, которые подлежат определению.
Приведем правую часть нашего выражения к общему знаменателю и, исходя из равенства дробей, имеющих одинаковые знаменатели, приравняем числители. Получим
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях у многочленов в левой и правой частях равенства. Получим
Решив систему, получим
.
Таким образом,
,
что совпадает с результатом, полученным ранее.
Пример 1.12. Выделить целую часть дроби
.
Запишем в общем виде результат. Степень целой части равна 
следовательно, целая часть имеет вид многочлена второй степени 
Второе слагаемое – правильная дробь, знаменатель которой 
– многочлен первой степени. Так как степень числителя должна быть строго меньше степени знаменателя, то числителем может быть только число (многочлен нулевой степени). Итак,
.
Находим 
.
Решив систему, получим 
.
Окончательный результат:
.
Примеры для самостоятельного решения.
Представить дроби в виде многочлена и правильной дроби.
| № | Условие | Ответ |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
|
Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 132; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав |