Алгоритм 2.

а) Представить дробь в виде суммы многочлена (если дробь неправильная) и правильной дроби при помощи деления многочленов.

б) Представить правильную дробь в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

в) Определить коэффициенты разложения.

г) Проинтегрировать сумму многочлена и простейших дробей.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 4.1. Найти

– правильная дробь, знаменатель уже разложен на множители.

Разложим эту дробь на сумму простейших дробей.

Определим A и B.

при имеем значит,

при имеем то есть

Пример 4.2. Найти

Подынтегральная дробь правильная. Разложим знаменатель на множители , следовательно,

Пример 4.3. Найти

Подынтегральная дробь неправильная, так как степень числителя на единицу больше степени знаменателя.

Применим алгоритм 1. Разложение имеет вид:

Решение системы:

Находим интеграл:

Пример 4.4. Найти .

Подынтегральная функция представляет собой простейшую дробь 4-го типа. Ранее было показано, как взять такой интеграл с помощью рекуррентной формулы. В этом примере покажем иной способ интегрирования.

Выполним преобразования:

.

Второй интеграл возьмем по частям:

.

Примеры для самостоятельного решения.

№	Условие	Ответ