Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



В виде суммы простейших дробей




Читайте также:
  1. А удельный вес от какой суммы находила? Указать её в итоговой строке
  2. Амортизация: понятие и методы расчеты суммы амортизационных вычислений в бухгалтерском учете и НК
  3. В состав расходов, св. с пр-вом и реализацией, относятся суммы начисленной амортизации.
  4. Вы инвестировали в наш ломбард 100 000р. под 3% от суммы Ваших использованных инвестиций при каждой сделке для кредитования населения под залог движимого имущества
  5. Дисконтированная стоимость суммы минимальных арендных платежей практически составляет всю справедливую стоимость арендуемого актива
  6. Интегрирование рациональных дробей
  7. Интегрирование рациональных дробей
  8. Интегрирование рациональных дробей
  9. Интегрирование рациональных дробей.

Теорема. Правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей единственным образом.

Пусть дана рациональная дробь

,

где – многочлен степени n – правильная дробь причем

Эта дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей по схеме

,

где Ai Mj, Nj – числа, которые подлежат определению. Такое представление называется разложением дроби на сумму простейших дробей.

Схема приведена для частного случая. Если в знаменателе имеется несколько сомножителей типа каждый из них порождает s дробей (простейшие дроби 1 и 2-го типов), а каждый из сомножителей типа порождает r дробей (простейшие дроби 3 и 4-го типов).

Рассмотрим несколько примеров разложения правильной дроби на простейшие без определения коэффициентов.

Пример 3.1.

.

 

 

В этом примере стрелками указаны дроби, «порожденные» соответствующими множителями знаменателя.

На этом этапе разложения можно сделать небольшую проверку. Количество неизвестных коэффициентов в правой части обязательно должно быть равно степени знаменателя исходной дроби. В данном примере степень знаменателя равна пяти. Количество коэффициентов – тоже пять.

Пример 3.2.

Пример 3.3. Разложить дробь на сумму простейших дробей

.

Проверка: степень знаменателя – пять, количество коэффициентов – пять.

Для определения коэффициентов надо правую часть привести к общему знаменателю и приравнять числители левой и правой частей.

,

.

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях :

 

Решая полученную систему, получим

.

Таким образом,

.

Пример 3.4. Разложить дробь на сумму простейших дробей.

Дробь правильная. Запишем разложение в общем виде:

Приведем правую часть к общему знаменателю и приравняем числители:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

Решая систему, получим

Итак, получим

Пример 3.5. Разложить дробь на сумму простейших дробей.

.

Степень знаменателя равна трем, три неизвестных коэффициента.

,

Решая полученную систему, получим ,

Следовательно,

В следующем примере будет показан иной способ нахождения неопределенных коэффициентов разложения.

Пример 3.6. Разложить дробь на сумму простейших дробей.



.

Приравниваем числители:

.

Применим метод частных значений. Последовательно подставим в полученное равенство значения , которые являются корнями знаменателя.

 

, , , .
, , , .
, , , .

 

При подстановке каждого из значений два слагаемых в равенстве обращаются в ноль. Это облегчает нахождение коэффициентов. Заметим, однако, что этот метод наиболее эффективен, если в разложении все простейшие дроби – 1-го типа.

Подставляя полученные коэффициенты в разложение, получим

.

Примеры для самостоятельного решения.

Условие Ответ
.

 

Пример 3.7. Рассмотрим неправильную рациональную дробь

.

Чтобы ее проинтегрировать, нужно представить ее в виде суммы многочлена и суммы простейших дробей.

Так как степень числителя равна 4, а степень знаменателя равна 2, то дробь можно представить в виде суммы многочлена степени 4–2=2 и суммы простейших дробей

,

то есть в общем виде

Определим коэффициенты. Для этого приведем правую часть к общему знаменателю, а затем приравняем числители левой и правой части:



Сравним коэффициенты при одинаковых степенях :

Решив систему

получим

Окончательно получаем:


Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 39; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.015 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты