Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

Рациональные дроби вида

,

где , называются простейшими дробями соответственно 1, 2, 3, 4-го типов.

Рассмотрим интегралы от простейших дробей.

1. .

2.

.

3. Для того, чтобы понять, как проинтегрировать простейшую дробь

3-го типа , рассмотрим сначала частный случай, когда .

Поскольку знаменатель на вещественные множители не раскладывается, можно ввести обозначение . Тогда дробь примет вид

.

Найдем интеграл от этой дроби.

.

Теперь рассмотрим интеграл от простейшей дроби 3-го типа в общем виде:

Выделим полный квадрат в знаменателе.

.

Интеграл примет вид

.

Сделаем замену переменной

, .

.

Вернемся к старой переменной.

.

Рассмотрим интеграл от простейшей дроби 4-го типа:

..

Применим к нему ту же подстановку, что и в случае простейшей дроби 3-го типа:

, .

Тогда наш интеграл сводится к сумме двух интегралов:

.

Первый интеграл вычисляется следующим образом:

.

Второй интеграл вычисляется с помощью так называемой рекуррентной формулы:

,

где .

Используя эту формулу, мы получаем интеграл, где степень знаменателя уменьшается на 1. Применяя эту формулу к интегралу раз, придем к табличному интегралу .

Примеры интегрирования простейших дробей.

Пример 2.1. – интеграл от простейшей дроби 1-го типа.

.

Пример 2.2. – интеграл от простейшей дроби 2-го типа .

.

Пример 2.3.

Пример 2.4. – интеграл от простейшей дроби 3-го типа (частный случай).

.

Пример 2.5. – интеграл от простейшей дроби 3-го типа.

Выделяем полный квадрат в знаменателе:

.

Замена переменной .

.

Пример 2.6. – интеграл от простейшей дроби 4-го типа .

.

Интеграл будем вычислять с помощью рекуррентной формулы.

.

Примеры для самостоятельного решения.

№	Условие	Ответ
1.
2.
3.
4.
5.