Экстремумы функции. Методические указания

Методические указания

К типовому расчету

«Исследование функций и построение графиков»

Приложение производной к исследованию функций

Монотонность функции

Определение. Функция y = f(x) возрастает (убывает) на промежутке Х, если "х₁, х₂ÎХ: х₂>х₁ Þ f(х₂)>f(х₁) (f(х₂)<f(х₁)).

Теорема 1. (необходимое условие монотонности). Если дифференцируемая на (a;b) функция y = f(x) возрастает (убывает),

то f ¢(x)≥0 (f ¢(x)≤0), "xÎ(a;b).

Теорема 2. (достаточное условие монотонности). Если y = f(x) дифференцируема на (a;b) и "xÎ(a;b): f ¢(x)>0 (f ¢(x)<0), то функция на (a;b) возрастает (убывает).

Экстремумы функции

Определение. Точка х₀ называется точкой локального max (min) функции y=f(x), если ∃ О_d(х₀): f(х₀)>f(х) (f(х₀)<f(х)), "xÎО_d(х₀).

Точки локального max (min) – это точки локального экстремума, а значения функции в этих точках - экстремумы функции.

Теорема 3. (необх. условие экстремума). Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке х₀ экстремум, то f ¢(х₀)=0 или f ¢(х₀) не существует. Обратное неверно.

Т.о. непрерывная функция может иметь экстремум в точках, где f ¢(х)=0 или ∄ f ¢(х), т.е. в критических точках 1 рода.

Теорема 4. (первое достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция y=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки х₀ и при переходе через нее f ¢ меняет знак с «+» на «-» (с «-» на «+»), то х₀ – точка max (min).

Теорема 5. (второй достаточный признак экстремума). Если функция y=f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки х₀ и выполняются условия, то

1. - точка max 2. - точка min.

Замечание. Если f ¢¢(х₀)=0 или f ¢(х₀) не существует, то второй признак неприменим. Также признак неудобен при громоздкой форме f ¢¢(х).

Правило исследования y=f(x) на монотонность и экстремумы

1. Найти D_f .

2. Вычислить f ¢(х) и найти критические точки 1 рода (f ¢(х)=0 или ∄ f ¢(х)).

3. Определить знак f ¢(х) в промежутках, на которые критические точки делят D_f (определить промежутки знакопостоянства функции

y=f ¢(х)).

4. Найти интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума. Вычислить экстремумы функции.