Правило исследования функции на выпуклость (вогнутость) и определения точек перегиба

1. Найти D_f .

2. Вычислить f ¢¢(х) и найти критические точки 2 рода (f ¢¢(х)=0 или ∄ f ¢¢(х)).

3. Определить знак f ¢¢(х) в промежутках, на которые критические точки делят D_f.

4. Найти найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

4. Асимптота графика функции y=f(x)–это прямая, расстояние до которой от точки М, лежащей на графике, стремится к нулю при удалении точки М от начала координат по кривой.

вертикальная асимптота x=a, если f(x)=±∞

наклонная асимптота y=kx+b, если k= b=

горизонтальная асимптота y=b – частный случай наклонной асимптоты при k=0

Схема исследования функции

1. Найти область определения функции. Исследовать поведение функции в точках разрыва и на бесконечности.
2. В случае, если симметрична относительно начала координат, проверить функцию на четность/нечетность; проверить также, не является ли она периодической.
3. Найти корни функции и промежутки знакопостоянства функции. Точки, в которых , т.е. корни функции, – это точки пересечения графика функции с осью Ох. Эти точки являются точками возможной перемены знака у.
4. Найти асимптоты графика функции.
5. Найти промежутки монотонности функции и точки экстремума, используя производную.
6. Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба, используя вторую производную .
7. Построить график функции, используя результаты исследования. Для уточнения графика можно вычислить значения функции еще в нескольких точках, например можно найти точку пересечения с осью Оу – это точка .

Пример 1: Исследовать функцию и построить ее график.

1. Найдем область определения данной функции , т.е. .

Исследуем поведение функции на бесконечности:

аналогично .

Поведение функции вблизи точки разрыва :

; , т.е. точка разрыва второго рода.

1. Для данной функции область определения не симметрична относительно начала координат, следовательно – функция общего вида. Функция алгебраическая, следовательно, не является также и периодической.
2. Из уравнения найдем корень функции . Найдем промежутки знакопостоянства функции, используя метод промежутков.

1. Так как в точке функция терпит разрыв второго рода, то график функции имеет вертикальную асимптоту . Горизонтальных асимптот нет, т.к. (см. пункт 1). Для отыскания наклонных асимптот найдем следующие пределы:

, .

Следовательно наклонная асимптота при

1. Дифференцируя данную функцию, получим

.

Производная при и , не существует при . Изменение знака производной на области определения и монотонность функции , а также точки экстремума представлены на следующей схеме:

1. Дифференцируя дважды данную функцию, получим

.

Вторая производная не обращается в нуль, но не существует при . Однако, точка . Знаки второй производной на , а также промежутки выпуклости и вогнутости функции у представлены на схеме:

Так как в точке функция не определена, то точек перегиба нет.

1. Используя полученные данные, строим график функции, см. рис.1

Пример 2: Исследовать функцию Гаусса и построить ее график.

1. Область определения симметрична относительно точки и . Следовательно функция Гаусса является четной функцией и ее график симметричен относительно оси Оу. Дальнейшие исследования можно проводить не на всей , а только при ; построить график на правой полуплоскости и, используя четность, достроить его на левой полуплоскости.
2. Функция Гаусса положительна на : . Следовательно график функции располагается в верхней полуплоскости и не пересекает ось Ох.

1. График функции Гаусса имеет горизонтальную асимптоту , т.к. . Исследуем на наличие наклонных асимптот , где :

.

Таким образом, наклонных асимптот нет.

1. Найдем первую производную и ее корни:

1. Исследуем функцию Гаусса на выпуклость/вогнутость, вычислив вторую производную и ее корни:

; при .

Точки перегиба , т.к.

1. Функция Гаусса пересекает ось Оу в точке .

Для уточнения найдем , это значение очень мало.

Так как при функция убывает, а при возрастает, то практически равно нулю при .

Используя результаты исследования, строим график функции Гаусса, который называется купон Гаусса (рис.2)

		Рис.2. Купон Гаусса

Варианты с 1 по 30 типового расчета

по теме «Исследование функций и построение графиков»

1. 16.

2. 17.

3. 18.

4. 19.

5. 20.

6. 21.

7. 22.

8. 23.

9. 24.

10. 25.

11. 26.

12. 27.

13. 28.

14. 29.

15. 30.

31. 32.

33. 34.

35.