Методы оптимизации

Главной задачей и конечной целью решения большого числа разнообразных исследовательских проблем управления, проектирования и планирования обычно является достижение и поддержание экстремальных, то есть наилучших, показателей. Процесс нахождения и поддержания наилучших (в определенном смысле) значений целевой функции объекта называется оптимизацией.

Критерий оптимизации (целевая функция) Y обычно задается, иногда исследователь задает ее сам. Этот критерий должен удовлетворять следующим основным условиям:

– нести в себе существенную информацию об объекте, о качестве процесса;

– измеряться с достаточной точностью;

– носить обобщенный характер, то есть отражать свойства и качества процесса в целом.

Если математическое ожидание критерия оптимизации у есть функция от вектора входных управляемых переменных (факторов), то есть

M{y} = f( ) = f(x₁, x₂, …, x_k), (10.1)

где k – число факторов,

то задача оптимизации сводится к отысканию таких значений факторов

* = (x₁*, x₂*, …, x_k*), (10.2)

при которых целевая функция достигает экстремума (максимума или минимума).

Если на объект воздействуют аддитивные помехи, то зависимость (10.1) выражает не функциональную, а регрессионную зависимость, которая в (k+1)-мерном пространстве n факторов x_i (i =1, 2, …, k) и целевой функции y образует поверхность отклика.

Для решения задачи оптимизации, то есть отыскания вектора (10.2), можно применить два принципиально разных подхода:

1 – если известна или есть возможность найти n-факторную математическую модель для той части пространства, где расположен экстремум функции отклика, то задачу оптимизации решают аналитическим или численным методом;

2 – если математическое описание не получено по каким-либо причинам, то осуществляют экспериментальный поиск области оптимума.

В первом случае используют известное из математического анализа свойство функций, имеющих экстремум: в точке экстремума (максимума или минимума) первая производная этой функции обращается в нуль. Если необходимо найти полную производную в n-факторном пространстве, то находят n частных производных по каждому из n факторов и получают систему из n уравнений

∂y/∂x₁ = 0;

∂y/∂x₂ = 0;

………….. (10.3)

∂y/∂x_k-1 = 0;

∂y/∂x_k = 0

Решением системы (10.3) и является вектор (10.2). Однако во многих практических случаях аналитическая зависимость (10.1) неизвестна или ее нахождение представляет собой сложную задачу.

Тогда, если имеется возможность одновременно наблюдать все n факторов и целевую функцию, задачу оптимизации проще решить с помощью второго подхода, то есть с помощью экспериментального поиска. Для этого сначала осуществляют изучение характера поверхности отклика в районе первоначально выбранной точки факторного пространства (с помощью специально спланированных «пробных» опытов). Затем совершают «рабочее» движение в сторону экстремума, причем направление движения определяют по результатам пробных опытов. Такое движение может осуществляться путем ряда этапов, которые могут объединяться в «циклы».

После выхода в район экстремума оптимальную точку можно уточнить одним из двух способов:

– постановкой дополнительных, особым образом спланированных, опытов;

– получением математической модели второго или более высокого порядка и последующим решением системы уравнений (6.3).

Задача надежного отыскания экстремума усложняется, если на объект воздействуют случайные помехи. Тогда каждое измеренное (наблюдавшееся) значение целевой функции оказывается суммой истинного ее значения и случайной помехи. Для повышения надежности результатов применяют специальные методы, например в каждой запланированной точке факторного пространства выполняют несколько параллельных опытов.

Если характеристики объекта изменяются, смещаются во времени (дрейф), то это создает дополнительные трудности и приходится создавать специальные планы эксперимента.