Параболические сплайны.

В приложениях наиболее употребительными являются сплайны невысокой степени, в частности параболические и кубические. Процесс построения таких сплайнов значительно проще, чем процесс построения сплайнов более высокой степени. Матрица системы уравнений, определяющей параметры сплайна, является трехдиагональной с доминирующей главной диагональю, и при решении системы можно использовать, например, экономичный метод прогонки. При достаточной гладкости функции и хороших узлах сплайны низкой степени позволяют приближенно восстанавливать производные высоких порядков, однако порядок приближения будет хуже, чем для сплайнов высокой степени. В случае малой гладкости приближаемой функции использование сплайнов высокой степени не дает преимуществ в смысле порядков приближения. Сказанное относится не к индивидуальной функции, а к классам функций, к сплайнам дефекта 1 с фиксированными узлами, т. е. когда узлы заранее задаются, а не выбираются в зависимости от приближаемой функции.

Изучим вначале параболические сплайны. Напомним необходимые определения. Пусть , , , и заданы два множества узлов:

Будем предполагать, что

Определение 1.Функция называется интерполяционным параболическим сплайном для функции , если

а) ;

б) ;

в) .

Числа называются узлами сплайна, а числа - узлами интерполяции.

Узлы сплайна (дефекта 1) — это точки возможного разрыва его старшей производной, в данном случае — второй производной.

Для сплайнов из определения 1 мы будем использовать также обозначения и . Сплайн зависит от n+3 параметров и, следовательно, имеет два свободных параметра. Поэтому на интерполяционный параболический сплайн налагают еще два дополнительных условия.

Если функция является -периодической, то обычно требуют, чтобы сплайн также был -периодическим и имел непрерывную первую производную на и чтобы не являлась узлом сплайна. Таким образом, периодический сплайн удоволетворяет условиям:

В общем случае наиболее употребительны следующие краевые условия:

где - заданные действительные числа. Конкретный выбор этих чисел зависит от рассматриваемой задачи. Например, если функция имеет соответствующие производные, то можно положить , , , или заменить их приближенным значениями соответствующих производных. В задачах, связанных с теорией упругих балок, краевые условия возникают естественным образом. Например, если концы балки закреплены, то . Если выбор краевых условий затруднителен, то можно потребовать, чтобы в точках и сплайн имел непрерывную вторую производную. Это эквивалентно условиям:

Положим

,

Так как - кусочно постоянная функция, то

Пусть

,

и - вторая разделенная разность функции относительно точек . Примем следующую теорему без доказательства.

Теорема 1: Если , то интерполяционный параболический сплайн, удовлетворяющий одному из краевых условий -, существует и определяется единственным образом. Учитывая , для имеем

.

Потребовав, чтобы и , , найдем константы и :

Для того чтобы в точке была непрерывна вторая производная, находим или

После того как найдены, учитывая и , при расчетах можно пользоваться представлением сплайна в форме . При этом требуется запоминать , , и . Из имеем , поэтому на , можно пользоваться представлением

где определяется равенством . Представление проще, а требует запоминания тех же параметров. Для , , можно пользоваться следующим представлением:

которое следует из формулы Тейлора при m=2 (при i=0 сумма полагается равной нулю), где определяется . Здесь для запоминания сплайна требуется хранить лишь , , и , т.е. в два раза меньше, чем в предыдущих случаях. Однако при больших n вычисление по формуле может привести к накоплению арифметических погрешностей.

Можно вычислять сплайн по формуле

,

где , , и вычисляются по формулам . Действительно, при , а из , отсюда следует, что , и равенство . Для запоминания сплайна в форме требуется хранить , , и . С целью предотвращения накопления погрешностей вычисления и в то же время уменьшения числа запоминаемых параметров можно использовать компромиссные представления между , и , . А именно можно разбить отрезок на конечное число частей и на каждой из этих частей пользоваться представлением или . С той же целью можно использовать представление через В- сплайны, которые будут рассмотрены в следующих главах.

В дальнейшем будет рассматриваться лишь случай, когда узлы сплайна , расположены посредине между узлами интерполяции , , т.е.

сказанное не исключает того, что для индивидуальной функции специальный выбор узлов сплайна может обеспечить меньшую погрешность, чем выбор .