Погрешность параболических сплайнов

Сходимость и оценки остаточного члена

будут изучаться лишь для специального выбора узлов сплайна. При изучении сходимости интерполяционных сплайнов в качестве параметра приближения выбирается величина

,

где - узлы интерполяции .

Ради сокращения формулировок обозначим через множество (b – a)- периодических функций, имеющих на непрерывную k-ю производную. Примем без доказательства следующие теоремы.

Теорема 2: Если или , то для интерполяционного параболического сплайна с узлами , удовлетворяющего периодическим краевым условиям (при ) или краевым условиям - при ( ), имеют место неравенства

,

где для периодических краевых условий и условий

,

для краевых условий

для краевых условий

и

Теорема 3: Если или и интерполяционный параболический сплайн с узлами и узлами интерполяции удовлетворяет периодическим краевым условиям или краевым условиям - , то имеют место неравенства

,

где и для периодических краевых условий

,

для краевых условий

,

для краевых условий

Теорема 4: Если и интерполяционный параболический сплайн с узлами интерполяции

удовлетворяет периодическим краевым условиям (если f(x) – (b – a) – периодическая) или краевым условиям - , то справедливы оценки

где для периодических краевых условий и условий

для краевых условий

для краевых условий

.