Законы распределения случайных величин

Под случайной величиной понимается величина, принимающая в результате опыта какое либо числовое или качественное значение.

Случайная величина, принимающая конечное число или последовательность различных значений, называется дискретной случайной величиной. Случайная величина, принимающая все значения из некоторого интервала, называется непрерывной случайной величиной.

Под интегральным законом распределения (или функцией распределения) F (х) случайной величины Х понимают вероятность p того, что случайная величина Х не превысит некоторого ее значения х

F (х) = p (Х < х).

Основным свойством интегрального распределения является монотонное не убывание в ограниченном диапазоне [ 0; 1 ].

Действительно, если х₁ и х₂ некоторые значения случайной величины Х. Причем х₂ > х₁, то очевидно, что событие p (Х < х₂) ³ p (Х < х₁), т.к. между значениями х₁ и х₂ могут быть и промежуточные. Из определения интегрального закона следует, что F (х₂) ³ F (х₁), что говорит о монотонном не убывании функции. Очевидно также, что

F (- ¥) = p (Х < - ¥) = 0;

Þ F (¥) - F (- ¥) = 1,

F (+ ¥) = p (Х < ¥) = 1;

т.е. F (х) изменяется в диапазоне от 0 до 1.

Для дискретной случайной величины

F (x) = P (X < x) = P (-¥ < X < x) = ,

где суммирование распространяется на х_i < х. В промежутке между двумя последовательными значениями Х функция F (х) постоянна. При переходе аргумента х через значение х_i F (х) скачком возрастает на величину p (Х = х_i).

Рассмотрим p (х₁ £ Х < х₂). Если х₂ > х₁, то очевидно, что

p (Х < х₂) = p (Х < х₁) + p (х₁ £ Х < х₂).

Тогда

p (х₁ £ Х < х₂) = p (Х < х₂) - p (Х < х₁) = F (х₂) - F (х₁),

т.е. вероятность попадания случайной величины в интервал [х₁; х₂) равен разности значений интегральной функции граничных точек.

Последнее условие можно использовать для нахождения вероятности p (Х = х₁) для непрерывной случайной величины. Для этого рассмотрим предел

p (X = x₁) = ,

т.е. если закон распределения случайной величины есть функция непрерывная, то вероятность того, что случайная величина примет заранее заданное значение, равна нулю.

Здесь видно различие между дискретными и непрерывными случайными величинами. Для дискретных случайных величин, для каждого значения случайной величины существует своя вероятность. И для него справедливо утверждение: событие, вероятность которого равна нулю, невозможно. Для непрерывной случайной величины это утверждение неверно. Как показано, вероятность того, что Х = х₁ ( где х₁- заранее выбранное число) равна нулю, это событие не является невозможным.

Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, интегральный закон которой предполагается непрерывным и дифференцируемым. Функцию

¦ (х) = F¢ (õ)

называют дифференциальным законом распределения или плотностью вероятности случайной величины Х. Из определения производной можно записать

¦ (x) = F¢ (x) = ,

т.е. плотность вероятности случайной величины Х в точке х равна пределу отношения вероятности попадания величины Х в интервал (х; х + Dх) к Dх, когда Dх стремится к нулю.

Используя понятия интегральной функции распределения и определенного интеграла можно записать

¦ (x) = F¢ (x) или F (x) = p (x₁ < X < x₂) = .

Это соотношение имеет простое геометрическое толкование (рис. 5).

Если определяет заштрихованную область в соответствующих пределах, то

p (х < Х < х + Dх) » ¦ (х) Dх.

Из свойств интегрального распределения следует

^.

Зная дифференциальный закон распределения можно определить интегральный закон распределения

F (x) = ^.