Перемножение матриц.

Число столбцов первого множителя должно равняться числу строк второго

Вопрос №4

Транспонирование матриц. Определитель и его свойства

Транспонированной матрицей назовем такую матрицу, у которой строки матрицы заменены на столбцы

Определителем матрицы называется число, которое получается при сложении произведений элементов матрицы, взятых либо с «+», либо с « - »
свойства:

1. Определитель равен нулю, если матрица содержит 0 строку (столбец)
2. Опр.матрицы равен 0, если она содержит одинак. Стр и столб
3. Определитель матрицы равен определитель транспонированной матрицы
4. Определитель матрицы изменит знак, сли поменять стр и стлб
5. Если стр(стлб) определит. Матр. Представляет собой сумму двух чисел, то определитель равен сумме двух определителей
6. Если стр(стлб) определит.кратен некоторому числу, это число можно вынести за знак опредеителя

7. Опр.матрицы не изм., если к любой стр(стлб) матрицы добавить др.строку(стлб) матрицы, умноженную на конст, не равн.0

Вопрос №5

Умножение матриц. Свойства умножения

Операция умножения двух матриц А и В определяется только для случая, когда ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ А РАВНО ЧИСЛУ СТРОК МАТРИЦЫ В

1. Свойство ассоциативности умножения матриц .
2. Два свойства дистрибутивности и .
3. В общем случае операция умножения матриц некоммутативна .
4. Единичная матрица Е порядка n на n является нейтральным элементом по умножению, то есть, для произвольной матрицы А порядка p на n справедливо равенство , а для произвольной матрицы А порядка n на p - равенство .

Вопрос №6

Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной.

Доказательство.

1) Необходимость: так как то (теорема 3.1), поэтому

2) Достаточность: зададим матрицу в следующем виде:

.

Тогда любой элемент произведения (или ), не лежащий на главной диагонали, равен сумме произведений элементов одной строки (или столбца) матрицы А на алгебраические дополнения к элементам друго столбца и, следовательно, равен 0 (как определитель с двумя равными столбцами). Элементы, стоящие на главной диагонали, равны Таким образом,

= . Теорема доказана.

Вопрос №7

Линейная независимость элементов линейного пространства. Свойства линейной независимости

Набор элементов линейного пространства называется линейно-независимым, если из равенства нулю линейной комбинации следует, что она тривиальна

(Набор элементов линейного пространства называется лин-зав, если сущ нетривиальная лин.комб, равная нулю)

Cвойства:

1.Если среди элементов набора есть нулевой элемент пространства, то весь набор лин.зав

2. Если среди n-элементов есть m-зависимых, тогда весь набор зависим, следовательно, любое подмножество линейно-независим.множества набора лин-незав

Вопрос №8

Базис линейного пространства. Координаты элементов. Линейные операции

Набор элементов линейного пространства назыв. Базисом, если 1-эти элементы лин-незав, 2-любой элемент лин.пространства мб выражен их лин.комбинацией

Координатами элемента линейного пространства в некотором базисе называются коэффициенты разложения по этому базису.

Вопрос №9

СЛАУ. Решение системы. Виды систем

Системой линейных алгебраических уравнений порядка n называется выражение вида:

Решение СЛАУ:

СЛАУ имеет решение, если существует такой упорядоченный набор чисел Х, что при подставлении в систему он обращает все уравнения в тождества

Пример: A= X= B= A*X=B

Типы СЛАУ:

СЛАУ совместна, если она имеет хотя бы одно решение; не совместна, если решений нет

СЛАУ называется определенной, если решение единственное, и неопределенной, если решений бесконечно много

Вопрос №10

Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц

Рангом матрицы называется max количество лин-незав строк(столб) матрицы

Элементарные преобразования:

1. Замена мест строк и столбцов (поменять их местами)

2. Транспонирование

3. Домножение стр(стлб) на НЕ нулевую конст

4. К любой стр.(стлб) добавить любую др.стр(стлб), умнож на не нулевую конст

Вопрос №11

Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем

Система уравнений является совместной тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы А_В равен рангу матрицы А.

Rang A_B = Rang A

1. Если ранг матрицы А (Rang A) = числу совместных неизвестных переменных, то система определенная
2. Если Rang A < n(n – кол-во неизвестных), то система неопределенная.

Вопрос №12

Геометрический вектор как элемент линейного пространства (линейные операции и их свойства)

Геометрический вектор –направленный отрезок.

• Сложение векторов:

Правило параллелограмма:суммой 2-ух вектором «а» и «в», имеющих общее начало, называется вектор «с», представляющий собой диагональ параллелограмма, построенного на векторах «а» и «в».

Правило треугольника: суммой векторов «а» и «в» называется вектор «с», проведенный из начала вектора «а» в конец вектора «в».

Свойства векторов: 1. а+в = в+а – свойство коммуникативности

2. (а+в)+с = а+(в+с) – свойство ассоциативности

3. а *0 = а – закон поглощения нуля.

• Разность векторов:

Разностью векторов «а» и «в» называется вектор «с», который в сумме с вектором «в» дает вектор «а»

• Умножение вектора на число

Произведением вектора «а» на число λ называется вектор «в», коллинеарным вектору «а», имеющий длину |в|=λ*|а|, и совпадающий по направлению с вектором «а», если λ положительная, и имеющий противоположное направление с вектором «а», если λ отрицательная.

Вопрос №13

Коллинеарность векторов. Необходимое и достаточное условие коллинеарности

Если 2 вектора лежат на 1 прямой или на параллельных прямых, то они называются коллинеарными.

Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов a = ( x, y, z ) и b = ( u, v, w ) :

Вопрос №14

Компланарность векторов. Необходимое и достаточное условие компланарности

Вектора называются компланарными, если они лежат на 1 плоскости или на параллельных плоскостях.

Необходимое и достаточное условие компланарности векторов a = ( x, y, z ), b = ( u, v, w ) и c = ( p, q, r ) :

Необходимое и дост усл:

Для перпендикулярности двух ненулевых векторов и необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю, то есть, чтобы выполнялось равенство .

Доказательство.

Пусть векторы и перпендикулярны. Докажем выполнение равенства .

По определению скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Так как векторы и перпендикулярны, то угол между ними равен девяноста градусам, следовательно, , что и требовалось доказать.

Переходим ко второй части доказательства.

Теперь считаем, что . Докажем, что векторы и перпендикулярны.

Так как векторы и ненулевые, то из равенства следует, что . Таким образом, косинус угла между векторами и равен нулю, следовательно, угол равен , что указывает на перпендикулярность векторов и .

Итак, необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов полностью доказано.

Вопрос №18

Скалярное произведение векторов в ортнонормированном пространстве. Длина вектора

Скалярным произведением векторов в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений соответствующих координат

Длина вектора – это расстояние между точками а и b.

Вопрос №19

Прямая на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости

· Две прямые на плоскости могут совпадать.

· Две прямые на плоскости могут пересекаться(Отдельно стоит рассмотреть расположение прямых на плоскости, когда угол между ними равен девяноста градусам. В этом случае прямые называются перпендикулярными)

· Две прямые на плоскости могут быть параллельными. (Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек)

Вопрос №20

Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве

· Во-первых, две прямые могут совпадать, то есть, иметь бесконечно много общих точек (по крайней мере две общие точки).

· Во-вторых, две прямые в пространстве могут пересекаться, то есть, иметь одну общую точку.

· В-третьих, две прямые в пространстве могут быть параллельными. В этом случае они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Вопрос №21

Плоскость. Взаимное расположение плоскостей

· Две плоскости в пространстве могут совпадать. В этом случае они имеют, по крайней мере, три общие точки.

· Две плоскости в пространстве могут пересекаться.

· Две плоскости в пространстве могут быть параллельными, то есть, не иметь общих точек.

Вопрос №22

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Прямая и плоскость в пространство могут:

• а) не иметь общих точек;
• б) иметь ровно одну общую точку;
• в) иметь хотя бы две общие точки.

На рис. 30 изображены все эти возможности.

В случае а) прямая b параллельна плоскости : b || .

В случае б) прямая l пересекает плоскость в одной точке О; l = О.

В случае в) прямая а принадлежит плоскости : а или а .

Теорема. Если прямая b параллельна хотя бы одной прямой а, принадлежащей плоскости , то прямая параллельна плоскости .

Вопрос №23

Способы задания множества. Множество и подмножество. Объединение множеств и его свойства

Множество А называют подмножеством В, если любой элемент А принадлежит В.

Вопрос №24

Множество. Пересечение множеств и его свойства. Числовые множества

Множеством элементов называется совокупность, отличающаяся друг от друга, но с другой стороны отличающихся от всех остальных элементов

Пересечением множеств A и B называется множество A B, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B.

Множество А называют подмножеством В, если любой элемент А принадлежит В.

Вопрос №25

Множества на числовой прямой. Окрестность тоски, б – окрестность точки, окрестность бесконечно удаленной точки

Вопрос №26

Предел функции одной переменной. Графическое представление

Вопрос №27

Теорема об арифметических действиях над функциями, имеющими конечный предел

Пусть есть 2 ф-ции, имеющие конечн. предел в точке Х₀, тогда предел суммы равен сумме пределов, множитель (константу) можно выносить за знак предела, предел произведения = произведению пределов, предел частного равен = частному пределов, если в знаменателе не 0.

Вопрос №28

Предел функции одной переменной. Теорема о единственности предела

Функция не может иметь в одной точке два различных предела.

Вопрос №29

Предел функции одной переменной. Теорема о сжатой переменной

f(x) , g(x) , φ(x) Ǝ O(Xo) : x O(Xo)

f(x) ≤ g(x) ≤ φ(x) = = A , A < ∞ => Ǝ = A

Если функции по бокам имеют одинаковый предел, то функция в середине имеет такой же предел.

Доказательство: = A , A < ∞

∀ ℇ > 0 Ǝ > 0 ∀ x ∈ X : 0 < | X – Xo| < δ

| f(x) – A | < ℇ преобразуем - ℇ < f(x) – A < ℇ

= A , A< ∞

∀ ℇ > 0 Ǝ ´ > 0 : ∀ x ∈ X : 0 < | X – Xo| < ´

| φ(x) – A | < ℇ преобразуем -ℇ < φ(x) – A < ℇ Получилось 2 дельта окрестность одной точки

Для всякого ℇ > 0 нашлась такая O (

∀ x ∈ X : 0 < | X – Xo| <

-ℇ < g(x) < ℇ => -ℇ < f(x) – A < ℇ => | g(x) – A | < ℇ , что и т.д.

Вопрос №30

Предел функции одной переменной. Теорема о предельном переходе в неравенстве

= A , A< ∞ = B

Ǝ O (Xo) ; ∀ x ∈ O (Xo) f(x) < g(x) => A< B

Доказательство: Пусть f(x) < g(x) , A>B (от противного)

Рассмотрим = A - B> 0

F(x) – g(x) < 0 в O(Xo) <0 (по теореме о стабилизации знака)

А>B –противоречие => A<B

Вопрос №31

Бесконечно малые. Свойства бесконечно малых

Функция f(x) называют бесконечно малой величиной в точке х₀ принадл. R U ±∞, если

= 0

Свойства бмв:

1. Суммадвух БМ в точке тоже является БМВ в этой точке
2. Произведениедвух и более БМ в точке тоже является БМ в этой точке
3. Частное от деления бмв на функцию, предел которой ≠ 0, есть величина бм.

Вопрос №32

Бесконечно малые. Эквивалентные БМ. Теорема об эквивалентных БМ

Функция f(x) называют бесконечно малой величиной в точке х₀ принадл. R U ±∞, если

= 0

Эквивалентные БМ:

Две БМ эквивалентны, если их предел = 1

Теорема об эквивалентности БМ

Вопрос №33

Последовательность. Предел последовательности. Число е.

Последовательность – это функция натурального аргумента

Вопрос №34

Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Пусть х измеряется в радианах, тогда = 1

Док-во: Для выполнения доказательства проверим функцию под знаком lim на четность.

(четная)

Т.к. функция является четной, то доказательство выполняется в I четверти, с использованием окружности единичного радиуса.

Sin x === = Tg x === SΔ AOC < S сек AOC < SΔAOD SΔ AOC = * OA = sin x *1 = SΔ AOD = *OA = S сек AOC = =

D

C

OA = 1

До множим все три части двойного неравенства на 2:

Sin x < x <

Поделим все 3 части на sin x: и поскольку sin x в I четверти «+», то знаки двойного неравенства сохранятся

1<

1<

Выполним предельный переход в точу 0:

1 <

Т.к. нет такой величины, которая одновременно была бы и больше и меньше 1, то естественно, что первый замечательный lim =1

Ч.т.д.

2-ой замечательный предел ⁿ = e

N=1 (1+ )¹ = 2

N=2 (1+ )² = 2, 25

N=3 (1+ )³ = 2, 35

n→∞ e = 2,71826…

Вопрос №35

Теорема о связи функции, имеющей конечный предел и БМ

Вопрос №36

БМ и ББ. Теорема о связи ББ и БМ

Бесконечно малая и бесконечно большая величины:

Функция f(x) называют бесконечно малой величиной в точке х₀ принадл. R U ±∞, если

= 0

Функция f(x) называется бесконечно большойвеличиной в точке х₀ принадл. R U ±∞, если = ∞

Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших величин:

1. Пусть f(x) является бмв в точке х₀, тогда является ббв в этой точке

3. Пусть f(x) является ббв в точке х₀, тогда является бмв в этой точке

Вопрос №38

Непрерывность числовой ф-ии одной переменной в точке. Точки разрыва, классификация точек разрыва

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0 ,если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке.

Точки разрыва функции

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв   Непрерывна при x = a.   Имеет разрыв при x = a.   Непрерывна при x = a.   Имеет разрыв при x = a. Рисунок 1.