КАТЕГОРИИ: АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Классификация точек разрыва функции ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ; Эти односторонние пределы конечны. При этом возможно следующие два случая: Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу: Такая точка называется точкой устранимого разрыва. Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу: Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции. Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Вопрос №39

Непрерывность ф-ии на отрезке. Теоремы Коши о непрерывных функциях (без доказательства)

Определение. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).

Теорема Коши:если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения f(a)=A и f(b)=B,то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между A и B.

Вопрос №40

Производная функции в точке. Геометрическая интерпретация производной

Производной функцией называют предел, отношение прирощения функции к прирощению аргумента при условии, что последнее → 0

Геом.смысл:Значение производной в точке равно tg угла наклона касательной, проведенной к функции в этой точке

Вопрос №41

Производная функции в точке. Механическая интерпретация производной

Производной функцией называют предел, отношение прирощения функции к прирощению аргумента при условии, что последнее → 0

Механический смысл:

Пусть некоторая точка движется вдоль прямой не обязательно с постоянной скоростью. Тогда пройденное расстояние измеряется по закону S = S(t)

Необходимо вычислить скорость в момент времени t₀

V(t₀) - ?

V_ср =

Естественно полагать, что предельной формой V_ср при Δt→0 является скорость в момент времени t₀

V(t₀) = = S`(t₀)

Механический смыслпроизводной – производная от закона S(t) = S

Вопрос №42

Производная функции в точке. Эластичность ф-ии

Производной функцией называют предел, отношение прирощения функции к прирощению аргумента при условии, что последнее → 0

Вопрос №43

Дифференцируемые функции одной переменной. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

Вопрос №44

Дифференцируемые функции одной переменной. Дифференциал функции одной переменной. Непрерывность дифференцируемой ф-ии

Вопрос №45

Производная ф-ии в точке. Правила дифференцирования

Производной функцией называют предел, отношение прирощения функции к прирощению аргумента при условии, что последнее → 0.

Правила дифференцирования:

1. (С * U(x))` = C*U`(x)
2. (U(x) ± V(x))` = U`(x) ± V`(x)
3. (U(x) * V(x))` = U`(x)*V(x) + U(x)*V`(x)

(U(x) / V(x))` =

Вопрос №46

Производная ф-ии в точке. Дифференцирование сложной функции

Производной функцией называют предел, отношение прирощения функции к прирощению аргумента при условии, что последнее → 0.

Пусть
функция x = f(t) дифференцируема в точке t, а функция y = f(x) дифференцируема в соответствующей точке x = f(t). Тогда сложная функция y = f(f(t)) дифференцируема в точке t, причем справедлива формула

Доказательство. Зададим x = f(t) отличное от нуля приращение D t. Этому приращению отвечает приращение D x = f (t+D t)-f (t) функции x = f(t). ПриращениюD x отвечает приращение D y = f(x+ D x)-f(x). Так как функция y = f(x)дифференцируема, то ее приращение D y представимо в виде (1):

D y =f'(x)D x +a (D x) D x,

где lim_{D x® 0}a (D x ) = 0. Поделив данное выражение на D t № 0, будем иметь:

D y/D t=f'(x)D x/D t+ a (D x)D x/D t.

Из дифференцируемости функции x = f (t) в точке t вытекает, что

lim_{D t® 0}D x/D t = f'(t).

Отметим, что из дифференцируемости функции x = f(t) следует, что D x® 0 при Dt® 0. Следовательно, lim_{D t® 0}a (D x) =0. Таким образом, получим необходимую формулу (3).

Вопрос №47

Производные и дифференциалы высших порядков

Дифференциалом второго порядкафункции y = f(x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка.

d²y= d(dy)

Диф. 2-го порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка.

d²y = d(d^n-1y)

d²y = d(f`(x))`d(x) = d*(f`(x))`dx = (f`(x))`dxdx = f``(x)dx²

Вторая производная –это производная от первой производной:

f``(x) =

Если функция n раз дифференцируема на каком либо промежутке Х то можно записать:

F(x) принадл. D⁽ⁿ⁾ (x)

Вопрос №48

Теорема Ферма

Теорема:Если дифференцируемая на промежутке Х функция y = f(x) достигает своего наименьшего или наибольшего значения в точке х₀, то производная функция этой точки = 0.

Δy = f(x0+Δx) – f(x0) ≥ 0 => ≥ 0 (x>0) или ≤ 0 (x<0) Т.к. функция дифференцируема на промежутке Х то значение производной не зависит от направления: = f`(x0) = 0

y

f(x₀+Δx)

Х

0 Х₀ х₀+Δх

Вопрос №49

Теорема Коши. Правило Лопиталя (без док-ва)

Теорема:Пусть функция y = f(x) удовлетворяет след.условиям:

• f(x) принадл. C[a;b]
• f(x) принадл. D`(a;b)

а так же существует функция g(x), которой удовлетвор. тем же условиям, а так же её производная ≠0 . тогда существует точка £ из промежутка (a;b) такая, что:

Док-во:
F(x) = f(x) - (g(x) – g(a))

Проверим, выполняются ли условия для новой функции:

1. F(x) непрерывна на отрезке [a;b] по 1-му условию данной теоремы;
2. F(x) принадл. D`(a;b) по 2-му условию
3. F(a) = ( g(a) – g(a) )

F(a) = f(a)

F(b) = f(b) = ( g(b) – g(b))

F(b) = f(a)

По теореме Ролля найдем хотя бы 1 точку, где F`(x) = 0:

F`(£) = 0

F`(x) = f`(x) =

F`(£) =

F`( =

Поделив обе части на нулевую производную g в точке £ получаем доказываемое равенство.

Правило Лопиталя:

Предел отношения двух бмв или ббв равно приделу отношения их производных, если последний существует:

Вопрос №50

Теорема Лагранжа. Формула конечных приращений

Теорема Лагранжа:

Пусть функция y = f(x) удовлетворяет условиям:

• f(x) принадл. C[a;b]
• f(x) принадл. D`(a;b)

тогда найдется хотя бы одна точка £ принадл. (a;b) такая что:

f`(£) =

Найдется хотя бы 1 точка, в которой касательная, проведенная к графику будет || к хорде , проведенная от начальной к конечной точке на этом промежутке.

Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то найдётся такая точка , что

.

Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

Вопрос №51

Возрастание и убывание ф-ии. Признак монотонности ф-ии

Признак монотонности функций

Теорема 1. Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция возрастала (убывала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была во всех точках интервала неотрицательна (неположительна). Если производная функция во всех точках интервала положительна (отрицательна), то функция строго возрастает (строго убывает).

Вопрос №52

Дифференцируемые ф-ии одной переменной. Условие постоянства ф-ии в области

Функция одной переменной является дифференцируемой в точке своей области определения , если существует такая константа , что для любой точки верно

при этом число неизбежно равно производной

Функция одной переменной является дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда она имеет производную в этой точке.

Условие постоянствa функции

Пусть производная функции равна нулю на некотором промежутке. Тогда эта функция постоянна на этом промежутке.
Теорема обобщается на случай функции нескольких переменных. Если все частные производные функции тождественно равны нулю в некоторой области, на которой определена эта функция, она постоянна в этой области.

Вопрос №53

Экстремумы ф-ии. Достаточное условие экстремума

Функция задана на промежутке от a до b. Возьмем некоторую окрестность точки из этого промежутка.

1. Точка х₀ называется точкой MAX функции если в некоторой окрестности этой точки f(x₀)>f(x)
2. Точка х₀ называется точкой MIN функции если в некоторой окрестности этой точки f(x₀)< f(x)

Значение функций в точках MAX и MIN называется соответственно максимумом и минимумом. Максимум и минимум объединяют общим термином – экстремум функции.

Достаточное условие:

Если при переходе через точку х₀ первая производная меняет знак с «+» на «-» то в точке х₀ максимум, а если с «-» на «+» о в точке х₀ минимум.

Вопрос №54

Экстремумы ф-ии. Необходимое условие экстремума

Функция задана на промежутке от a до b. Возьмем некоторую окрестность точки из этого промежутка.

1. Точка х₀ называется точкой MAX функции если в некоторой окрестности этой точки f(x₀)>f(x)
2. Точка х₀ называется точкой MIN функции если в некоторой окрестности этой точки f(x₀)< f(x)

Значение функций в точках MAX и MIN называется соответственно максимумом и минимумом. Максимум и минимум объединяют общим термином – экстремум функции.

Необходимое условие:

Если функция имеет экстремум в точке , то ее производная либо равна нулю, либо не существует.

Вопрос №55

Точка перегиба. Достаточное условие существования точки перегиба

Точка перегибаграфика непрерывной функции называется точка, которая разделяет интервалы выпуклости вверх и вниз.

Достаточное условие перегиба:

Если вторая производная дважды дифферен. функции при переходе через точку х₀ меняет свой знак, то эта точка - точка перегиба

Вопрос №56

Направление выпуклости графика ф-ии. Достаточное условие выпуклости вверх (вниз)

Достаточное условие: если f '' ( x ) < 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .