Билет 19. Бесконечное произведение

Бесконечное произведение

Бесконечное произведение представляет собой произведение бесконечного числа сомножителей:

.

Если такое произведение стремится при i ®¥ к некоторому пределу P, то P называют значением бесконечного произведения. Если P конечно и отлично от нуля, то произведение называют сходящимся, в противном случае - расходящимся. Если бесконечное произведение сходится, то . Именно это обстоятельство можно использовать для прекращения циклических вычислений частичных произведений, а именно когда очередной сомножитель станет отличаться от 1 на величину меньше заданной погрешности e. Разберем правила решения данной задачи на конкретном примере.

Пример 2. С погрешностью 0,0001 вычислить значение числа p с использованием формулы Валлиса: .

Ввод (e)

p:= 1; m:= 4/3; n:= 2

Пока m-1 > e

p:= p*m

m:= 4n*n/(4n*n-1); n := n + 1

Вывод (2*p)

В соответствии с приведенным выше алгоритмом имеем:

program Vallis;

const

e = 0.0001;

var

n: byte;

p, m: real;

begin

p:= 1; m:= 4/3; n:= 2;

while m-1 > e do begin

p:= p*m;

m:= 4*n*n/(4*n*n - 1);

end; {while}

writeln(‘Число ПИ = ‘, p*2);

writeln(‘Учтено ’,n-1, ‘сомножителей’)

end.