КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
СледствияСтр 1 из 2Следующая ⇒ Доказательство Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1. Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1). Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX. Очевидно, что: (1) (где SsectOKA — площадь сектора OKA) (из : | LA | = tgx) Подставляя в (1), получим: Так как при : Умножаем на sinx: Перейдём к пределу: Найдём левый односторонний предел: Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1. Следствия § § § §
6) Второй основной предел и следствие из него или Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая: 1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где — это целая часть x. Отсюда следует: , поэтому . Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем: . По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов . 2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда . Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.
|