Зростання і спадання функцій

План

• Монотонність функції, необхідні і достатні умови
• Екстремум функції, необхідні і достатні умови
• Найбільше і найменше значення функції на замкнутому проміжку
• Екстремум функції декількох змінних.
• Необхідні і достатні умови екстремуму для функції двох змінних
• Найбільше та найменше значення функції в обмеженій замкнутій області

Екстремуми функцій

Зростання і спадання функцій

Дамо ряд означень. Припустимо, що функція визначена на деякому проміжку а є внутрішньою точкою цього проміжку.

Означення. Функція називається зростаючою (спадною) в точці , якщо існує окіл точки , який міститься в проміжку і є такий, що для всіх і ) для всіх .

Означення. Якщо функція є зростаючою (спадною) в кожній внутрішній точці проміжку то вона називається зростаючою (спадною) на цьому проміжку.

2.Достатні ознаки зростання (спадання) диференційованої функції.

Теорема. Якщо функція у внутрішній точці має похідну і , то функція в точці зростає (спадає).

Д о в е д е н н я. Розглянемо випадок, коли .

Скористаємось означенням похідної

,

де .

Тоді з попередньої рівності та умови теореми маємо

.

При цьому знайдеться окіл точки такий, що для всіх крім, можливо, точки справджуватиметься нерівність .

Нехай , тобто . Тоді з попередньої нерівності маємо, що й .

Нехай , тобто . Тоді з тієї самої нерівності дістаємо, що .

Отже, існує окіл точки такий, що для всіх матимемо , а для всіх , а це й означає, що в точці функція є зростаючою.

Теорему доведено.

Аналогічно доводиться випадок, коли .

3. Інтервали, на яких функція зростає (спадає), називаються інтервалами монотонності функції. Згідно з доведеним, у диференційованої функції на інтервалі зростання , на інтервалі спадання . Якщо похідна функції неперервна, то розділяти інтервали монотонності можуть лише точки, в яких , оскільки зміна знаку неперервної функції можлива лише при переході через її нуль. Точка, в якій , називається точкою стаціонарності функції . Зауважимо, що кожна точка стаціонарності розділяє інтервали монотонності (наприклад, функції і мають точку стаціонарності ; ця точка для розділяє, а для не розділяє інтеграли монотонності похідної функції , то інтервали монотонності можуть розділяти не лише точки стаціонарності . Наприклад, для точка розділяє інтервали монотонності, в цій точці і похідна функції не існує.

Обмежимося розглядом функцій, диференційованих скрізь, крім, можливо, скінченого числа точок, в їх областях визначення і які мають не більше скінченого числа точок стаціонарності. Якщо функція розглянутого класу, то доводиться, що її інтервали монотонності розділяються або точками стаціонарності , або точками, в яких похідна функції не існує. Але ж не кожна така точка буде розділяти інтервали монотонності (рис. 6.11).

Рис.6.11

Сформулюємо правила дослідження функцій на зростання і спадання.

1⁰.Знаходимо точки із області означення функції, в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує. Ці точки називають критичними для функції за першою похідною.

Критичні точки розбивають область означення функції на інтервали, на кожному із яких похідна зберігає знак.

2⁰. Досліджуємо знак на кожному із цих інтервалів.

Якщо на інтервалі , то це інтервал зростання, якщо , інтервал спадання.

Приклад.

Знайти інтервал зростання і спадання функції .

Р о з в ’ я з о к. Обчислимо похідну

.

Знайдемо точки, в яких . Це точки, в яких . Розв’яжемо цю нерівність:

.

Отже, в інтервалі функція зростає; в інтервалах

функція спадає.