Огляд основних методів інтегрування

Теорема. Інтеграл виду зводиться до табличного , якщо ми винесемо за інтеграл множник , а в підкореневому виразі виділимо повний квадрат.

Дов-ня. далі інтеграл табличний.

Теорема. Інтеграл виду зводиться до суми двох табличних , якщо ми в чисельнику виділимо похідну від підкореневого виразу, розіб´ємо на два інтеграли і з другим інтегралом проробимо те, що в (2.5.3.).

Доведення.

+ . Перший інтеграл табличний, а до другого застосовуємо (2.5.3).

Приклад. =

=

Теорема.Інтеграл виду зводиться до інтегралу виду (2.5.3), якщо ми зробимо таку заміну .

Доведення.

Приклад:

.

Огляд основних методів інтегрування

Вид інтегралу	Метод інтегрування
1.	Підстановка
2.	Інтегрування частинами Цей метод застосовується також до інтегралів виду , де – многочлен, а – одна із наступних функцій: а також коли – показникова ф-ція, а – синус, або косинус.
3.	Зводиться до інтегрування добутку за допомогою п-кратного інтегрування частинами: +
4. , де ­– многочлен п-го степеня	Застосовуючи п раз формулу інтегрування частинами одержимо:
5. ,	Підстановка
6.	Застосовуємо рекурентне співвідношення:
7.	Коли – правильний раціональний дріб і знаменник , то підінтегральний вираз представляють у вигляді суми найпростіших дробів: +
8.	Приводиться до інтегралу від раціонального дробу підстановкою , де к– спільний знаменник дробів
9.	Приводиться до інтегралу від раціонального дробу підстановкою
10.	Підстановкою інтеграл зводиться до суми двох табличних інтегралів
11. , де ­– раціональна функція	Зводиться до інтегралу від раціональних дробів підстановками Ейлера:
12. , де – многочлен степені п.	Застосовуємо метод невизначених коефіцієнтів до рівності . Продиференціювавши її і звівши до спільного знаменника одержимо тотожність яка дає нам систему лінійних рівнянь для знаходження коефіцієнтів многочлена і множника к.
13.	Підстановкою зводиться до інтегралу (12).
14. , де – раціональні числа. (інтеграл від біноміального диференціалу)	Якщо р – ціле додатнє число, то двочлен підноситься по біному Ньютона до степеня і інтеграл дорівнює сумі інтегралів від степеневих функцій. 2. Якщо р – ціле відємне число, то підстановка , де к – спільний знаменник дробів приводить до інтегралу від раціональної функції. 3. Якщо – ціле число, то застосовують підстановку , де к – знаменник дробу р; 4. Якщо – ціле число, то застосовується підстановка , де –знаменник дробу р.
15.	До інтегралу від раціонального дробу завжди приводить підстановка . Однак дроби будуть простішими, якщо скористатись такими підстановками: Якщо , то підстановка ; Якщо , то підстановка ; Якщо , то підстановка ;
16.	Добуток перетворюємо в суму:
17. , де – цілі числа.	Якщо – підстановка ; якщо – підстановка ; якщо – підстановка ; якщо – знижують степінь, застосовуючи формули ;
18. , де –раціональні чис	Підстановкою приводиться до інтеграла від біноміального диференціалу (див. 14)
19.	Підстановкою приводиться до інтеграла від раціонального дробу

Запитання для самоперевірки

1. Запишіть таблицю первісних основних елементарних функцій.

2. Чому дорівнюють інтеграли:

3. Чому дорівнює похідна невизначеного інтеграла? Приведіть приклад.

4 Чому дорівнює диференціал невизначеного інтеграла? Приведіть приклад.

5. Чому дорівнює невизначений інтеграл від диференціала функції ? Приведіть приклад.

6. При якому значенні п формула втрачає сенс?

7. На скільки інтегралів розпадається кожен з цих інте­гралів:

8. Сформулюйте і доведіть найпростші правила інтегрування.

9. В чому суть методів інтегрування частинами та заміни змінної в невизначеному інтегралі? Привести приклади.

10. Який раціональний дріб називається правильним? Які дроби називаються найпростішими ? Приведіть приклад.

11. Як розкласти многочлен на множники? Сформулюйте теорему Безу. Приведіть приклад.

12. Як проводиться розклад правильного раціонального дробу на найпростіші дроби? Сформулюйте теорему про розклад правильного дробу на суму найпростіших дробів.

13. В чому суть методу інтегрування раціональної функції? Подайте схему.

14. Привести приклади інтегрування найпростіших іраціональныхфункцій типу .

15.Привести приклади інтегрування найпростіших іраціональныхфункцій типу .

16.Привести приклади інтегрування найпростіших іраціональныхфункцій типу .

17.Привести приклади інтегрування найпростіших іраціональныхфункцій типу .

18.Привести приклади інтегрування найпростіших іраціональныхфункцій типу .

19. Дати загальний метод обчислення інтегралу від функції, раціональної відносно тригонометричних функцій. Приведіть приклад.

20. Коли говорять, що функція не інтегрується в елементарних функціях (у кінцевому виді)? Запишіть неелементарні функції виражені через інтеграл.