Определение грубых ошибок среди результатов повторностей опыта

При статистическом анализе экспериментальных данных для процессов, негативный результат которых не создает ситуаций, опасных для жизни людей или утраты больших материальных ценностей, доверительная вероятность обычно принимают равной Р=0,95

Среди результатов y_k повторностей опыта могут быть результаты, значительно отличающиеся от других. Это может быть связано либо с какой-то грубой ошибкой, либо с неизбежным случайным влиянием неучтенных факторов на результат данной повторности опыта.

Признаком наличия «выделяющегося» результата среди других является большая величина отклонения │▲y_k│= y_k – yˉ.

Если ▲y_k>y_пред, то такие результаты относятся к грубым ошибкам. Предельное абсолютное отклонение определяют в зависимости от сложившейся ситуации различными методами. Если, например, проводиться статистический анализ экспериментальных данных опыта с эталонным процессом (известно истинное значение результата опыта и ▲y_k=y_k-y) и если исследователь имеет в своем распоряжении оценку дисперсии S²(y_k) с таким большим числом степеней свободы, то может принять f→∞ и S²(y_k)=σ², то для определения грубых ошибок можно применить правило «2-х сигм»:все результаты, абсолютные отклонения которых по модулю превышают величину двух среднеквадратичных отклонений с надежностью 0,95 считаются грубыми ошибками и исключаются из массива экспериментальных данных (вероятность исключения достоверных результатов равна уровню значимости q=0,05).

Если доверительная вероятность отличается от 0,95 то пользуются правилом «одной сигмы»(Р=0,68) или правилом «трех сигм»(Р=0,997), или по заданной вероятности Р=2Ф(t) – 1 находят Ф(t) по справочным данным и параметр t, по которому и рассчитывают абсолютное отклонение:

Если в распоряжении исследователя имеется лишь приближенная оценка дисперсии с небольшим (конечным) числом степеней свободы, то применение правила «сигм» может привести либо к необоснованному исключению достоверных результатов либо к необоснованному оставлению ошибочных результатов.

В этой ситуации для определения грубых ошибок можно применить критерий максимального отклонения r_max(P, m), взятый из соответствующих таблиц. Для этого r_max сравнивают с величиной r, равной

(22)

Если r > r_max, то данный результат должен исключаться из дальнейшего анализа, оценка y^ˉ должна быть пересчитана, изменяются абсолютные отклонения ▲y_k и соответственно оценка дисперсии S²(y_k) и S²(yˉ). Анализ на грубые ошибки повторяют при новых значениях оценок yˉ и S²(y_k), прекращают его при r <= r_max.

При пользовании формулой (22) следует применять оценку дисперсии, полученную по результатам повторностей опыта, среди которых находится сомнительный результат.

Для определения грубых ошибок существуют и другие методы, среди которых наиболее быстрым является метод «по размаху», основанный на оценке максимальных различий полученных результатов. Анализ по этому методу проводят в такой последовательности:

1) располагают результаты y_k в упорядоченный ряд, в котором максимальному результату присваивается номер первый (y1), а максимальному – наибольший (y_m).

2) Если результатом, вызывающим сомнение, будет y_m, рассчитывают отношение

(23)

если сомнительным результатом будет y₁ – отношение

(24)

3) при заданном уровни значимости q и известном числе повторностей m по приложению 6 находят табличное значение критерия α_Т.

4) если α > α_Т, то подозреваемый результат является ошибочным и его следует исключить.

После исключения грубой ошибки находят по таблице новую величину α_Т и решают судьбу следующего «подозреваемого» результата, сравнивая α_Т и рассчитанный для него α.

Если есть основание предполагать, что 2 наибольших (2 наименьших) результата являются «промахами», то их можно выявить в один прием, используя соответствующий столбец таблицы приложения 6 для определения α_Т и рассчитывая α по формуле:

(25)

или

(26)

Средневзвешенные оценки дисперсии. Анализ однородности исходных оценок дисперсии

Если в распоряжении экспериментатора имеются результаты многократных измерений величин критерия оптимальности в опытах при различных условиях ведения процесса, то появляется возможность расчета средневзвешенной оценки дисперсииединичного результата, единой для всех опытов эксперимента.

В каждом из N опытов (номер опыта и = 1+N) оценка дисперсии единичного результата равна

где т_и – число повторностей и-го опыта.

Средневзвешенная оценка дисперсии единичного результата рассчитывается по всем оценкам дисперсии единичного результата опытов:

а) при различных т_и

где - число степеней свободы средневзвешенной оценки дисперсии; т_и – 1 = f_u – «вес» соответствующей и-ой оценки дисперсии, равный числу степеней свободы f_u;

б) прит_и = т = const

где N (m-1)=f – число степеней свободы средневзвешенной оценки дисперсии.

Прежде чем пользоваться соотношениями (28) и (29) для расчета средневзвешенных уточненных оценок дисперсии (чем больше число степеней свободы, тем более точной будет оценка дисперсии), надо доказать однородность исходных оценок дисперсии.

Определение «однородные» в статистике означает «являющиеся оценкой одного и того же параметра» (в данном случае – дисперсии σ ²).

Если измеряемая случайная величина у_ик распределена по нормальному закону во всем исследуемом диапазоне, то независимо от значений _и дисперсия σ не будет изменять своей величины и оценки этой дисперсии должны быть однородными. Однородность этих оценок проявляется в том, что они могут отличаться друг от друга лишь незначительно, в пределах, зависящих от принятой вероятности и объема экспериментальных данных.

Если т_и = т и f = const, то однородность оценок дисперсий можно проанализировать при помощи критерия КохренаG_kp. Вычисляют отношение максимальной дисперсии S²(y_uk)_max к сумме всех дисперсий

и сравнивают это отношение с величиной критерия Кохрена G_kp (P; f; N). Если G < Gkp, то оценки однородны.

Таблица значений критерия Кохрена в зависимости от числа степеней свободы числителя f_u, числа сравниваемых дисперсий N и принятого уровня значимости q = 1 – Р дана в приложении.

Если число повторностей в опытах различно (f_lt ≠ const), однородность оценок дисперсии можно проанализировать с помощью критерия ФишераF_Т. Для этого из N оценок дисперсии выбирают 2: максимальную S²(y_uk)_max и минимальную S²(y_uk)_min. Если вычисленное значение F их отношения меньше Ft,

то все N оценок дисперсии будут однородны.

Значения критерия Фишера F_T даны в приложении в зависимости от принятого уровня значимости q и числа степеней свободы f₁ и f₂ оценок S²(y_uk)_max и S²(y_uk)_min соответственно.

Если оценки дисперсии непосредственно измеряемого параметра у оказались неоднородными, т.е. оценками различных дисперсий, то средневзвешенная оценка не может быть рассчитана. И кроме того, величины у_к уже нельзя считать подчиняющимися нормальному закону, при котором дисперсия может быть лишь одной и неизменной при любом у.

Причиной нарушения нормального закона распределения может быть наличие оставшихся грубых ошибок (анализ на грубые ошибки либо не проводился, либо проведен недостаточно тщательно).

Другой причиной может быть наличие активного фактора, ошибочно отнесенного исследователем к неактивным и не снабженного системой стабилизации. Поскольку условия изменились, этот фактор стал значимо влиять на процесс.

Планирование и обработка результатов однофакторных экспериментов