Ортогональные системы функций

5.1. Дать определения ортогональности функций на отрезке и квадрата нормы. Найти коэффициенты ряда Фурье по системе функций , ортогональной на отрезке .

5.2. Доказать ортогональность следующих систем функций:

а) { } на отрезке [0,l]б) { } на отрезке [-l,l].
Найти квадраты норм и записать ряды Фурье функции f(x) по данным ортогональным системам.

5.3. Найти полиномы Лежандра P _n (x) (n=0,1,2,3) по формуле Родрига и построить их графики на отрезке [-1,1]. Указание. .

5.4. Найти P _n (x) (n=1,2,3.4) по рекуррентной формуле

5.5. Проверить ортогональность полиномов Лежандра P _n (x) (n=0,1,2,3) на отрезке [-1,1] . Найти квадраты их норм.
Указание.

5.6. Найти коэффициенты Фурье-Лежандра функции f(x).. Записать для неё ряд Фурье-Лежандра.
Указание.
Ответ.

5.7. Вычислить 4 первых полинома Лагерра L_n(x). Для n=0,1 использовать формулу , для n=2,3 – рекуррентную формулу .

5.8. Проверить соотношение
для

5.9. Вычислить 4 первых полинома Эрмита H_n(x). Для n=0,1 использовать формулу , для n=2,,3 – рекуррентную формулу .

5.10. Проверить соотношение
для

5.11. Найти сферические функции
, где ‑ присоединённые полиномы Лежандра, для n=0,1,2,3.

5.12. Найти шаровые функции для n=0,1,2,3.

5.13. Найти гармонические полиномы (представление шаровых функций в декартовых координатах) для . Проверить, что они удовлетворяют уравнению Лапласа
Указание. Воспользоваться зависимостью между декартовыми и сферическими координатами