Доказать равенство множеств, преобразуя множества к одинаковому виду помощью основных законов алгебры множеств.

Теория множеств

1. Что можно сказать о справедливости данных выражений:

1.1. Ø ? – несправедливо, поскольку пустое множество Ø по определению есть множество, не содержащее никаких элементов.

1.2. {1,2} = {1,2,1}.

1.3. {∆} = { }.

1.4. Ø.

1.5. {Ø }.

1.6. {Ø }.

1.7. {2,3} {1,2,3},{1,3}1,2 .

2. Доказать:

2.1. Ø ¹ {0}.

2.2. 0 Ø.

2.3. Ø {Ø }.

2.4. {x} {x} .

2.5. {a,b,c} = {a,c,b}.

2.6. {1,2},3} {1}, {2}, {3} .

3. Даны произвольные множества А, В, С :

3.1.

Чему равно ? А \ С ? С \ А ?

Решить задачу для

3.2. , .

3.3. , .

4. Существуют ли такие непустые множества А, В, С, что

4.1. Ø, Ø, \ С = Ø.

4.2. \ В и .

4.3. и .

4.4. Ø, Ø, А ∆С Ø.

1.5. .

1.6. , , Ø.

5. Изобразить на диаграмме Эйлера-Венна множества:

5.1. (А \ В) ∆ (А \ D).

5.2. (А ∆ В) \ (А ∆ D).

5.3. ∆ D).

5.4. (А (В ∆ С)) \ D.

5.5. .

5.6. .

5.7. .

Записать аналитически множества, представленные на диаграмме Эйлера-Венна (рис.5-10).

Рис.5 Рис.6

Рис.7 Рис.8

Рис.9 Рис.10

7. Доказать равенство множеств, используя принцип объемности:

7.1. .

7.2. .

7.3. .

7.4. .

7.5. .

7.6. .

7.7.^* Ø.

Доказать равенство множеств, преобразуя множества к одинаковому виду помощью основных законов алгебры множеств.

8.1. .

8.2. .

8.3. .

8.4. .

8.5. .

8.6. .

8.7.^* .

8.8. .

8.9. .

8.10. .

8.11. .

8.12. .

8.13. .

8.14. .

9. Доказать равенство множеств, преобразуя множества к одинаковому виду с помощью основных законов алгебры множеств:

9.1. .

9.2. .

9.3. .

9.4. .

9.5. .

9.6. .

9.7. (А \ В) \ С = (А \ С) \ (В \ С).

9.8. А \ (В \ .

9.9. .

9.10. .

9.11. .

9.12. .

9.13. .

9.14.^* (ассоциативный закон симметрической разности множеств).

9.15. (дистрибутивный закон для операции пере- сечения относительно симметрической разности).

9.16. .

9.17. .

9.18. .

9.19. .

9.20. .

10. Решить уравнение относительно Х:

10.1. .

10.2. ; 10.10. .

10.3. ; 10.11. .

10.4. . 10.12. .

10.5. . 10.13. .

10.6. . 10.14. .

10.7. . 10.15. .

10.8. . 10.16. .

10.9. Х ∆ А = В. 10.17. .

11. Решить уравнение относительно Х:

11.1. .

11.2. . 11.9. .

11.3. . 11.10.^* .

11.4. . 11.11. Ø.

11.5. . 11.12. Ø.

11.6. . 11.13. Ø.

11.7. . 11.14.^* .

11.8. . 11.15. .

12. Найти все подмножества множеств:

12.1. .

12.2. {Ø}, {1}, {1,2}, {1,2,3}.

12.3. {x | x – положительная оценка}.

12.4. {x | x – входит в треугольник учебной группы}.

12.5. {x | x² – x = 0 }.

12.6. {∆ , ÿ, ○} {○, ◊, ÿ }.

12.7. {| , – , / } \ {/ , \ }.

13. Доказать, что для любых a, в, с и d а = с и в = d тогда и только тогда, когда {{a}, {a, в}} = {{c}, {c, d}}.