Понятие о гильбертовом пространстве.

Ранее были рассмотрены унитарные пространства, в которых введено скалярное произведение векторов. Можно обойтись без скалярного произведения, т.е. не требовать унитарности пространства, а просто ввести норму (длину) каждого вектора. Получим нормированное пространство.

Следующий шаг, который можно сделать в линейном пространстве, – ввести понятие расстояния между векторами, как норму их разности.

Линейное пространство с введенным в нем расстоянием называется метрическим. Всякое унитарное пространство является метрическим с расстоянием .

Наличие расстояния позволяет в метрическом пространстве, в частности, в унитарном, ввести новые понятия: ограниченность пространства, непрерывность, предельный элемент (точка), предел и т.д.

Пространство, содержащее все свои предельные элементы, называется полным.

Бесконечно-мерное полное унитарное пространство называется гильбертовым.

Пример гильбертова пространства: . Чтобы показать, что оно полное (пополненное), его обозначают как .