Метод ортогонализации базиса Шмидта.

Пусть в -мерном унитарном пространстве есть какой-то базис , ,., . Будем строить новый базис, образуя линейные комбинации векторов старого базиса:

;

, т.к. это ненулевая линейная комбинация базисных векторов .

Подберем так, чтобы векторы были ортогональны :

.

Теперь построим базисный вектор :

,

т.к., в конечном счете, это опять ненулевая линейная комбинация базисных векторов .

Подберем коеффициенты , так, чтобы и .

,

.

……………………………………………………………………..

( ) .

Таким способом получим систему попарно ортогональных векторов , которые уже поэтому линейно независимы и образуют ортогональный базис. Его можно нормировать разделив каждый вектор на .

Чтобы установить оператор (матрицу) перехода от старого базиса к новому базису надо знать представления (разложения) новых базисных векторов в старом базисе:

;

;

; и т.д.

……………………………………………………………………..

;

……………………………………………

Это все линейные комбинации векторов , причем последний из них -й с коеффициентом, равным 1. Коеффициенты -го вектора представляют собой элементы -го столбца матрицы оператора перехода в старом базисе:

. Это треугольная матрица треугольного преобразования.