Ортогональный, ортонормированный базис.

Рассмотрим -мерное унитарное линейное пространство .

Существуют базисы, обладающие важным преимуществом по сравнению с другими – это базисы, образующие ортогональную систему векторов: , , …, ; , ортогональные базисы. Если к тому же то базис называется ортонормированным.

Любой ортогональный базис , , …, можно нормировать: . Тогда

Расмотрим разложение вектора по ортонормированому базису :

. (9.4)

Умножим векторное равенство (9.4) скалярно на орт :

.

Полученное число называется скалярной проекцией вектора на .

Пусть имеем разложение двух векторов в ортонормированном базисе , , …, : , . Возьмем их скалярное произведение:

,

.

Но существует ли в -мерном унитарном пространстве ортонормированный базис? Докажем это конструктивно, т.е. просто построим такой базис.